Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( -x \right)+2019f\left( x \right)=x\sin x$. Giá trị tích phân $I=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\dfrac{1}{1010}.$
B. $\dfrac{1}{2019}.$
C. $\dfrac{1}{1009}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
A. $\dfrac{1}{1010}.$
B. $\dfrac{1}{2019}.$
C. $\dfrac{1}{1009}.$
D. $\dfrac{1}{2}.$
Đặt $t=-x\Rightarrow dt=-dx$
Với $x=\dfrac{-\pi }{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2};x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=\dfrac{-\pi }{2}.$ Khi đó $I=-\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{-\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -x \right)dx}$
Suy ra $2020.I=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -x \right)dx}+2019.\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\sin xdx}=2\Rightarrow I=\dfrac{2}{2020}=\dfrac{1}{1010}$
Với $x=\dfrac{-\pi }{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi }{2};x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=\dfrac{-\pi }{2}.$ Khi đó $I=-\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{-\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -t \right)dt}=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -x \right)dx}$
Suy ra $2020.I=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( -x \right)dx}+2019.\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{\dfrac{-\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}{x\sin xdx}=2\Rightarrow I=\dfrac{2}{2020}=\dfrac{1}{1010}$
Đáp án A.