Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x}...

Xét ${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{9}{\dfrac{f\left( \sqrt{x} \right)}{\sqrt{x}}\text{d}x=4}$
Đặt $t=\sqrt{x}\Rightarrow 2tdt=dx$
Đồi cận$\begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=1 \\
& x=9\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned}$
Suy ra ${{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{3}{2f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=4\Rightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=2 \left( 1 \right)$
Xét ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \sin x \right)\cos x\text{d}x=2}$
Đặt $t=\sin x\Rightarrow dt=\cos x$
Đồi cận$\begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned}$
Suy ra ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2 \left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $I=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=4.$