Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có...

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Ta có $f^2(\cos x)+(3-m)f(\cos x)+2m-10=0$.
Đặt $t=f(\cos x)$ ta được phương trình $t^2+(3-m)t+2m-10=0\iff [\begin{array}{rl}& t=2\\ & t=m-5\end{array}$.
Với $t=2\Rightarrow f(\cos x)=2\iff [\begin{array}{rl}& \cos x={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \cos x=1\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\\ & x=0\end{array}$ vì $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi ]$.
Với $t=m-5\Rightarrow f(\cos x)=m-5$ (1).
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $[-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi ]$ thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn $[-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi ]$ khác $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};0;{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$.
Với $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi ]\Rightarrow u=\cos x\in [-1;1]$.
Nhận xét:
Nếu $u\in [{\displaystyle \frac{1}{2}};1)$ thì có 2 nghiệm $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi ]$.
Nếu $u=1$ hoặc $u\in [-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$ thì có đúng 1 nghiệm $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{3}};\pi ]$.
Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn $f(\cos x)=m-5\iff f\left(u\right)=m-5$ có nghiệm $u\in [-1;{\displaystyle \frac{1}{2}})$.
Từ bảng biến thiên suy ra $-4\le m-5<2\iff 1\le m<7$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$ vì ${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$
Ta có: $t^{\prime }=0\iff \sin x=0\iff [\begin{array}{rl}& x=0\\ & x=\pi \end{array}$.
Khi đó phương trình $f^2(\cos x)+(3-m)f(\cos x)+2m-10=0$ trở thành:
$f{\left(t\right)}^2+(3-m)f\left(t\right)+2m-10=0\iff [\begin{array}{rl}& f\left(t\right)=2\\ & f\left(t\right)=m-5\end{array}$

Do phương trình $f\left(t\right)=2$ có 2 nghiệm nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $f\left(t\right)=m-5$ có duy nhất một nghiệm $-4\le m-5<2\iff 1\le m<7$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$.