Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như hình bên.
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{f}^{2}}\left( \cos x \right)+\left( 3-m \right)f\left( \cos x \right)+2m-10=0$ có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$ là
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình ${{f}^{2}}\left( \cos x \right)+\left( 3-m \right)f\left( \cos x \right)+2m-10=0$ có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$ là
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Ta có ${{f}^{2}}\left( \cos x \right)+\left( 3-m \right)f\left( \cos x \right)+2m-10=0$.
Đặt $t=f\left( \cos x \right)$ ta được phương trình ${{t}^{2}}+\left( 3-m \right)t+2m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=m-5 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $t=2\Rightarrow f\left( \cos x \right)=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=\dfrac{1}{2} \\
& \cos x=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{\pi }{3} \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right. $ vì $ x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$.
Với $t=m-5\Rightarrow f\left( \cos x \right)=m-5$ (1).
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$ thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$ khác $-\dfrac{\pi }{3};0;\dfrac{\pi }{3}$.
Với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]\Rightarrow u=\cos x\in \left[ -1;1 \right]$.
Nhận xét:
Nếu $u\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right)$ thì có 2 nghiệm $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$.
Nếu $u=1$ hoặc $u\in \left[ -1;\dfrac{1}{2} \right)$ thì có đúng 1 nghiệm $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$.
Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn $f\left( \cos x \right)=m-5\Leftrightarrow f\left( u \right)=m-5$ có nghiệm $u\in \left[ -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Từ bảng biến thiên suy ra $-4\le m-5<2\Leftrightarrow 1\le m<7$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=\cos x\in \left[ -1;1 \right]$ vì $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{3}{5}$
Ta có: ${t}'=0\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pi \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó phương trình ${{f}^{2}}\left( \cos x \right)+\left( 3-m \right)f\left( \cos x \right)+2m-10=0$ trở thành:
$f{{\left( t \right)}^{2}}+\left( 3-m \right)f\left( t \right)+2m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=2 \\
& f\left( t \right)=m-5 \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình $f\left( t \right)=2$ có 2 nghiệm nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $f\left( t \right)=m-5$ có duy nhất một nghiệm $-4\le m-5<2\Leftrightarrow 1\le m<7$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Ta có ${{f}^{2}}\left( \cos x \right)+\left( 3-m \right)f\left( \cos x \right)+2m-10=0$.
Đặt $t=f\left( \cos x \right)$ ta được phương trình ${{t}^{2}}+\left( 3-m \right)t+2m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=2 \\
& t=m-5 \\
\end{aligned} \right.$.
Với $t=2\Rightarrow f\left( \cos x \right)=2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \cos x=\dfrac{1}{2} \\
& \cos x=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=\pm \dfrac{\pi }{3} \\
& x=0 \\
\end{aligned} \right. $ vì $ x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$.
Với $t=m-5\Rightarrow f\left( \cos x \right)=m-5$ (1).
Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$ thì phương trình (1) có đúng 1 nghiệm trên đoạn $\left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$ khác $-\dfrac{\pi }{3};0;\dfrac{\pi }{3}$.
Với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]\Rightarrow u=\cos x\in \left[ -1;1 \right]$.
Nhận xét:
Nếu $u\in \left[ \dfrac{1}{2};1 \right)$ thì có 2 nghiệm $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$.
Nếu $u=1$ hoặc $u\in \left[ -1;\dfrac{1}{2} \right)$ thì có đúng 1 nghiệm $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{3};\pi \right]$.
Do đó yêu cầu bài toán xảy ra khi và chỉ khi phương trình (1) thỏa mãn $f\left( \cos x \right)=m-5\Leftrightarrow f\left( u \right)=m-5$ có nghiệm $u\in \left[ -1;\dfrac{1}{2} \right)$.
Từ bảng biến thiên suy ra $-4\le m-5<2\Leftrightarrow 1\le m<7$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Đặt $t=\cos x\in \left[ -1;1 \right]$ vì $\dfrac{{{V}_{1}}}{{{V}_{2}}}=\dfrac{3}{5}$
Ta có: ${t}'=0\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pi \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó phương trình ${{f}^{2}}\left( \cos x \right)+\left( 3-m \right)f\left( \cos x \right)+2m-10=0$ trở thành:
$f{{\left( t \right)}^{2}}+\left( 3-m \right)f\left( t \right)+2m-10=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( t \right)=2 \\
& f\left( t \right)=m-5 \\
\end{aligned} \right.$
Do phương trình $f\left( t \right)=2$ có 2 nghiệm nên yêu cầu bài toán tương đương với phương trình $f\left( t \right)=m-5$ có duy nhất một nghiệm $-4\le m-5<2\Leftrightarrow 1\le m<7$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Đáp án C.