Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có $\int\limits_{0}^{3}{f\left(x \right)dx}=-1,\int\limits_{0}^{5}{f\left( x...

Phương pháp:
- Chèn cận $\dfrac{1}{2}$ và phá trị tuyệt đối.
- Sử dụng phương pháp đổi biến số tính từng tích phân.
Cách giải:
Ta có: $I=\int\limits_{-2}^{2}{f\left( \left| 2x-1 \right| \right)dx}=\int\limits_{-2}^{\dfrac{1}{2}}{f\left( 1-2x \right)dx}+\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{3}{f\left( 2x-1 \right)dx}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}.$
Xét ${{I}_{1}}=\int\limits_{-2}^{\dfrac{1}{2}}{f\left( 1-2x \right)dx}.$
Đặt $t=1-2x\Rightarrow dt=-2dx.$ Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=-2\Rightarrow t=5 \\
& x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow t=0 \\
\end{aligned} \right..$ Ta có:
${{I}_{1}}=-\dfrac{1}{2}\int\limits_{5}^{0}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{5}{2}.$
Xét ${{I}_{2}}=\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{3}{f\left( 2x-1 \right)dx}.$
Đặt $u=2x-1\Rightarrow du=2dx.$ Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow u=0 \\
& x=2\Rightarrow u=3 \\
\end{aligned} \right..$ Ta có:
${{I}_{2}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( u \right)du}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}=-\dfrac{1}{2}.$
Vậy $I=\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=2.$