Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ...

Đặt $t=-2\cos 2x+1\in [-1;3],\mathrm{\forall }x$.
Ta có: ${\displaystyle \frac{1}{2{\sin }^{2}x}}={\displaystyle \frac{1}{1-\cos 2x}}={\displaystyle \frac{2}{2-2\cos 2x}}={\displaystyle \frac{2}{(-2\cos 2x+1)+1}}={\displaystyle \frac{2}{t+1}}$.
Phương trình trở thành: $f\left(t\right)={\displaystyle \frac{2}{t+1}}(\ast )$, (với $t\ne -1$ ). Kết hợp với $t\in [-1;3]$ ta xét nghiệm của phương trình $(\ast )$ trên nửa khoảng $(-1;3]$.
Đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ có tiệm cận ngang $y=0$, tiệm cần đứng $x=-1$ và đi qua các điểm đặc biệt $(0;2),(1;1),(3;{\displaystyle \frac{1}{2}})$. Xét sự tương giao trên cùng một hệ trục tọa độ:
Dựa vào đồ thị, trên $(-1;3]$ thì đồ thị hàm số $y={\displaystyle \frac{2}{x+1}}$ cắt đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x=0,x=1,x=a\in (1;3)$.
Bảng biến thiên của hàm số: $t=-2\cos 2x+1$ trên đoạn $[-\pi ;3\pi ]$

Dựa vào bảng biến thiên:
Với $t=0$, phương trình có $8$ nghiệm phân biệt.
Với $t=1$, phương trình có $8$ nghiệm phân biệt.
Với $t=a\in (1;3)$, phương trình có $8$ nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có tất cả $24$ nghiệm thuộc đoạn $[-\pi ;3\pi ]$.