Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ...

Ta có: ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>{{\log }_{5}}5+5$ (*)
Xét hàm số $y=g\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t$ $\left( t>0 \right).$
Ta có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0,\forall t>0$ suy ra hàm số $y=g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right).$
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)+m+2>5\Leftrightarrow f\left( x \right)>3-m.$
Xét hàm số $y=f\left( x \right).$ Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right..$
Ta có bảng biến thiên
Từ đồ thị hàm số, suy ra
$\int\limits_{-1}^{1}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}<\int\limits_{1}^{4}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}<-\int\limits_{1}^{4}{{f}'\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow \left. f\left( x \right) \right|_{-1}^{1}\left. <-f\left( x \right) \right|_{1}^{4}>f\left( 4 \right).$
Bất phương trình (*) đúng với mọi $x\in \left( -1;4 \right)$ khi và chỉ khi
$f\left( 4 \right)\ge 3-m\Leftrightarrow m\ge 3-f\left( 4 \right).$
Bước 1: Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để rút ra mối liên hệ.
Bước 2: Cô lập tham số m và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để đưa ra kết luận.