Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;4 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge 4-f\left( -1 \right)$.
B. $m\ge 3-f\left( -1 \right)$.
C. $m<4-f\left( -1 \right)$.
D. $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
A. $m\ge 4-f\left( -1 \right)$.
B. $m\ge 3-f\left( -1 \right)$.
C. $m<4-f\left( -1 \right)$.
D. $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Ta có: ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\Leftrightarrow {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)+m+2>{{\log }_{5}}5+5$ $\left( * \right)$
Xét hàm số $y=g\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t$ $\left( t>0 \right)$
Ta có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0$, $\forall t>0$ suy ra hàm số $y=g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)+m+2>5\Leftrightarrow f\left( x \right)>3-m$.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)$
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Từ đồ thị hàm số, suy ra $\int\limits_{-1}^{1}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}<\int\limits_{1}^{4}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}<-\int\limits_{1}^{4}{{f}'\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& -1 \\
\end{aligned} \right.<-f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 4 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( -1 \right)>f\left( 4 \right)$.
Bất phương trình $\left( * \right)$ đúng với mọi $x\in \left( -1;4 \right)$ khi và chỉ khi $f\left( 4 \right)\ge 3-m\Leftrightarrow m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Xét hàm số $y=g\left( t \right)={{\log }_{5}}t+t$ $\left( t>0 \right)$
Ta có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 5}+1>0$, $\forall t>0$ suy ra hàm số $y=g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$.
Khi đó $\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)+m+2>5\Leftrightarrow f\left( x \right)>3-m$.
Xét hàm số $y=f\left( x \right)$
Ta có ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Ta có bảng biến thiên
Từ đồ thị hàm số, suy ra $\int\limits_{-1}^{1}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}<\int\limits_{1}^{4}{\left| {f}'\left( x \right) \right|dx}\Rightarrow \int\limits_{-1}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}<-\int\limits_{1}^{4}{{f}'\left( x \right)dx}$
$\Rightarrow f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 1 \\
& -1 \\
\end{aligned} \right.<-f\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 4 \\
& 1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow f\left( -1 \right)>f\left( 4 \right)$.
Bất phương trình $\left( * \right)$ đúng với mọi $x\in \left( -1;4 \right)$ khi và chỉ khi $f\left( 4 \right)\ge 3-m\Leftrightarrow m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Đáp án D.