Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình $f\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)=m$ có đúng 2 nghiệm thực là
A. $\left[ 0;4 \right]$.
B. $\left\{ 0;4 \right\}$.
C. $\left\{ 0 \right\}\cup \left( 4;+\infty \right)$.
D. $\left[ 4;+\infty \right)$.
Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình $f\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)=m$ có đúng 2 nghiệm thực là
A. $\left[ 0;4 \right]$.
B. $\left\{ 0;4 \right\}$.
C. $\left\{ 0 \right\}\cup \left( 4;+\infty \right)$.
D. $\left[ 4;+\infty \right)$.
Đặt $g\left( x \right)=f\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)$.
Khi đó, số nghiệm phương trình $f\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)=m$ hay $g\left( x \right)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}{f}'\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{e}^{{{x}^{2}}}}=0 \\
& {{e}^{{{x}^{2}}}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{\ln 3} \\
\end{aligned} \right.$.
Lại có $g\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=4;g\left( \pm \sqrt{\ln 3} \right)=f\left( 3 \right)=0$.
Bảng biến thiên:
Khi đó, $g\left( x \right)=m$ có đúng 2 nghiệm $\Leftrightarrow m\in \left\{ 0 \right\}\cup \left( 4;+\infty \right)$.
Khi đó, số nghiệm phương trình $f\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)=m$ hay $g\left( x \right)=m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $g\left( x \right)$ và đường thẳng $y=m$.
Ta có: ${g}'\left( x \right)=2x{{e}^{{{x}^{2}}}}{f}'\left( {{e}^{{{x}^{2}}}} \right)$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& {{e}^{{{x}^{2}}}}=0 \\
& {{e}^{{{x}^{2}}}}=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{\ln 3} \\
\end{aligned} \right.$.
Lại có $g\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=4;g\left( \pm \sqrt{\ln 3} \right)=f\left( 3 \right)=0$.
Bảng biến thiên:
Khi đó, $g\left( x \right)=m$ có đúng 2 nghiệm $\Leftrightarrow m\in \left\{ 0 \right\}\cup \left( 4;+\infty \right)$.
Đáp án C.