Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ. Biết rằng diện tích các hình phẳng $\left( A \right),\left( B \right)$ lần lượt bằng 3 và 7. Tích phân $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( 5\sin x-1 \right)dx}$ bằng:
A. $-\dfrac{4}{5}.$
B. 2.
C. $\dfrac{4}{5}.$
D. $-2.$
A. $-\dfrac{4}{5}.$
B. 2.
C. $\dfrac{4}{5}.$
D. $-2.$
Đặt $t=5\sin x-1\Rightarrow dt=5\cos xdx\Rightarrow \cos xdx=\dfrac{1}{5}dt$.
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=-1;x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=4$.
Khi đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( 5\sin x-1 \right)dx}=\int\limits_{-1}^{4}{f\left( t \right)\dfrac{1}{5}dt}=\dfrac{1}{5}\int\limits_{-1}^{4}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{5}\left( \int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{1}^{4}{f\left( t \right)dt} \right)$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& 3=\int\limits_{-1}^{1}{\left| f\left( t \right) \right|dt}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt} \\
& 7=\int\limits_{1}^{4}{\left| f\left( t \right) \right|dt}=-\int\limits_{1}^{4}{f\left( t \right)dt} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}=3 \\
& \int\limits_{1}^{4}{f\left( t \right)dt}=-7 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ I=\dfrac{1}{5}\left( 3-7 \right)=-\dfrac{4}{5}$.
Đổi cận $x=0\Rightarrow t=-1;x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=4$.
Khi đó $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\cos x.f\left( 5\sin x-1 \right)dx}=\int\limits_{-1}^{4}{f\left( t \right)\dfrac{1}{5}dt}=\dfrac{1}{5}\int\limits_{-1}^{4}{f\left( t \right)dt}=\dfrac{1}{5}\left( \int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{1}^{4}{f\left( t \right)dt} \right)$.
Mặt khác $\left\{ \begin{aligned}
& 3=\int\limits_{-1}^{1}{\left| f\left( t \right) \right|dt}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt} \\
& 7=\int\limits_{1}^{4}{\left| f\left( t \right) \right|dt}=-\int\limits_{1}^{4}{f\left( t \right)dt} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}=3 \\
& \int\limits_{1}^{4}{f\left( t \right)dt}=-7 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy $ I=\dfrac{1}{5}\left( 3-7 \right)=-\dfrac{4}{5}$.
Đáp án A.