Cho hàm số $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ...

Bất phương trình đã cho tương đương với: $m>4-{\log }_5[f\left(x\right)+m+2]-f\left(x\right)$, $\mathrm{\forall }x\in (-1;4)$.
Xét hàm số $g\left(x\right)=4-{\log }_5[f\left(x\right)+m+2]-f\left(x\right)$ trên $(-1;4)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left(x\right)$, $\mathrm{\forall }x\in (-1;4)\iff m\ge \underset{[-1;4]}{max}g\left(x\right)$.
Ta có $g^{\prime }\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{[f\left(x\right)+m+2]\ln 5}}-f^{\prime }\left(x\right)=-f^{\prime }\left(x\right)\{{\displaystyle \frac{1}{[f\left(x\right)+m+2]\ln 5}}+1\}=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=1\\ & x=4\end{array}$
Bảng biến thiên hàm $g\left(x\right)$ trên $(0;3)$

Trong đó: $\{\begin{array}{rl}& g(-1)=4-{\log }_5[f(-1)+m+2]-f(-1)\\ & g\left(4\right)=4-{\log }_5[f\left(4\right)+m+2]-f\left(4\right)\end{array}$
Dựa vào đồ thị $f^{\prime }\left(x\right)$, ta có $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx<\underset{4}{\overset{1}{\int }}{f}^{\prime }\left(x\right)dx\iff f\left(1\right)-f(-1)<f\left(1\right)-f\left(4\right)\iff f(-1)>f\left(4\right)$.
Suy ra $g(-1)<g\left(4\right)$.
Do đó ta có $m\ge \underset{[-1;4]}{max}g\left(x\right)=g\left(4\right)=4-{\log }_5[f\left(4\right)+m+2]-f\left(4\right)$
$\iff m\ge 4-{\log }_5[f\left(4\right)+m+2]-f\left(4\right)\iff f\left(4\right)+m+2+{\log }_5[f\left(4\right)+m+2]\ge 6$
Đặt $t=f\left(4\right)+m+2$ (với $t>0$ ).
Bất phương trình trở thành: $t+{\log }_{5}t\ge 6\iff t\ge 5$.
Do đó: $f\left(4\right)+m+2\ge 5\iff m\ge 3-f\left(4\right)$.
Vậy $m\ge 3-f\left(4\right)$.