Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như hình vẽ bên dưới
Bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;4 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge 4-f\left( -1 \right)$.
B. $m\ge 3-f\left( -1 \right)$.
C. $m<4-f\left( -1 \right)$.
D. $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left( -1;4 \right)$ khi và chỉ khi
A. $m\ge 4-f\left( -1 \right)$.
B. $m\ge 3-f\left( -1 \right)$.
C. $m<4-f\left( -1 \right)$.
D. $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Bất phương trình đã cho tương đương với: $m>4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]-f\left( x \right)$, $\forall x\in \left( -1;4 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]-f\left( x \right)$ trên $\left( -1;4 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right)$, $\forall x\in \left( -1;4 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]\ln 5}-{f}'\left( x \right)=-{f}'\left( x \right)\left\{ \dfrac{1}{\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]\ln 5}+1 \right\}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên hàm $g\left( x \right)$ trên $\left( 0;3 \right)$
Trong đó: $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( -1 \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( -1 \right)+m+2 \right]-f\left( -1 \right) \\
& g\left( 4 \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]-f\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị ${f}'\left( x \right)$, ta có $\int\limits_{-1}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}<\int\limits_{4}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-f\left( -1 \right)<f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)\Leftrightarrow f\left( -1 \right)>f\left( 4 \right)$.
Suy ra $g\left( -1 \right)<g\left( 4 \right)$.
Do đó ta có $m\ge \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 4 \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]-f\left( 4 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge 4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]-f\left( 4 \right)\Leftrightarrow f\left( 4 \right)+m+2+{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]\ge 6$
Đặt $t=f\left( 4 \right)+m+2$ (với $t>0$ ).
Bất phương trình trở thành: $t+{{\log }_{5}}t\ge 6\Leftrightarrow t\ge 5$.
Do đó: $f\left( 4 \right)+m+2\ge 5\Leftrightarrow m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Vậy $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Xét hàm số $g\left( x \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]-f\left( x \right)$ trên $\left( -1;4 \right)$.
Bài toán trở thành tìm m để $m>g\left( x \right)$, $\forall x\in \left( -1;4 \right)\Leftrightarrow m\ge \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)$.
Ta có ${g}'\left( x \right)=-\dfrac{{f}'\left( x \right)}{\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]\ln 5}-{f}'\left( x \right)=-{f}'\left( x \right)\left\{ \dfrac{1}{\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]\ln 5}+1 \right\}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& x=1 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$
Bảng biến thiên hàm $g\left( x \right)$ trên $\left( 0;3 \right)$
Trong đó: $\left\{ \begin{aligned}
& g\left( -1 \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( -1 \right)+m+2 \right]-f\left( -1 \right) \\
& g\left( 4 \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]-f\left( 4 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Dựa vào đồ thị ${f}'\left( x \right)$, ta có $\int\limits_{-1}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}<\int\limits_{4}^{1}{{f}'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-f\left( -1 \right)<f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)\Leftrightarrow f\left( -1 \right)>f\left( 4 \right)$.
Suy ra $g\left( -1 \right)<g\left( 4 \right)$.
Do đó ta có $m\ge \underset{\left[ -1;4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 4 \right)=4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]-f\left( 4 \right)$
$\Leftrightarrow m\ge 4-{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]-f\left( 4 \right)\Leftrightarrow f\left( 4 \right)+m+2+{{\log }_{5}}\left[ f\left( 4 \right)+m+2 \right]\ge 6$
Đặt $t=f\left( 4 \right)+m+2$ (với $t>0$ ).
Bất phương trình trở thành: $t+{{\log }_{5}}t\ge 6\Leftrightarrow t\ge 5$.
Do đó: $f\left( 4 \right)+m+2\ge 5\Leftrightarrow m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Vậy $m\ge 3-f\left( 4 \right)$.
Đáp án D.