Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm của phương trình $\dfrac{{{f}^{3}}\left( x...

Dựa vào đồ thị ta nhận thấy $3f\left( x \right)+1>0,\forall x\in \mathbb{R}.$
Do đó $\dfrac{{{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x \right)+4f\left( x \right)+2}{\sqrt{3f\left( x \right)+1}}=3f\left( x \right)+2$
$\Leftrightarrow {{f}^{3}}\left( x \right)+3{{f}^{2}}\left( x \right)+3f\left( x \right)+1+f\left( x \right)+1=\sqrt{3f\left( x \right)+1}\left( 3f\left( x \right)+1+1 \right)$
$\Leftrightarrow {{\left[ f\left( x \right)+1 \right]}^{3}}+\left[ f\left( x \right)+1 \right]={{\left[ \sqrt{3f\left( x \right)+1} \right]}^{3}}+\sqrt{3f\left( x \right)+1}\left( 1 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{3}}+t$ với $t\in \mathbb{R}.$
Ta có $f'\left( t \right)=3{{t}^{2}}+1>0,\forall t\in \mathbb{R}.$ Do đó $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$
Khi đó $\left( 1 \right)\Leftrightarrow f\left( x \right)+1=\sqrt{3f\left( x \right)+1}\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)+2f\left( x \right)+1=3f\left( x \right)+1.$
$\Leftrightarrow {{f}^{2}}\left( x \right)-f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)=0 \\
& f\left( x \right)=1 \\
\end{aligned} \right..$

Dựa vào hình vẽ ta suy ra phương trình $f\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm và phương trình $f\left( x \right)=1$ có 6 nghiệm (các nghiệm này không trùng các nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0).$
Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm.