Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Bất phương trình ${{\log...

Điều kiện $f\left( x \right)+m+2>0$
Đặt $t={{\log }_{6}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]\Rightarrow f\left( x \right)+m+2={{5}^{t}}$
Bất phương trình đã cho trở thành $t+{{5}^{t}}>6$
Xét hàm $g\left( t \right)=t+{{5}^{t}}$
$g'\left( t \right)=1+{{5}^{t}}.\ln 5>0,\forall t$ do đó $g\left( t \right)$ là hàm đồng biến
Mà $g\left( 1 \right)=6$ nên $t+{{5}^{t}}>6\Leftrightarrow t>1$
Bất phương trình ${{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m$ đúng với mọi $x\in \left( -1;4 \right)$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)+m+2>0 \\
& {{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]>1 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( -1;4 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& f\left( x \right)>-m-2 \\
& f\left( x \right)>-m+3 \\
\end{aligned} \right.,\forall x\in \left( -1;4 \right)$
$\Leftrightarrow f\left( x \right)>-m+3,,\forall x\in \left( -1;4 \right)$
Xét hàm $f\left( x \right)$ trên $\left( -1;4 \right)$

Quan sát đồ thị của hàm số $f'\left( x \right)$ ta có
$\int\limits_{-1}^{1}{f'\left( x \right)dx<-\int\limits_{1}^{4}{f'\left( x \right)dx}\Leftrightarrow f\left( 1 \right)-f\left( -1 \right)<f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)\Leftrightarrow f\left( -1 \right)>f\left( 4 \right).}$
Dựa vào bảng biến thiên của hàm $f\left( x \right)$ trên $\left[ -1;4 \right]$ và dựa vào nhận xét $f\left( -1 \right)>f\left( 4 \right)$ ta có $f\left( x \right)>-m+3,\forall x\in \left( -1;4 \right)$ khi $f\left( 4 \right)\ge -m+3\Leftrightarrow m\ge 3-f\left( 4 \right).$