Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và các tích phân $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=4$ và $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}f\left( x \right)}{{{x}^{2}}+1}dx}=2$. Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$.
A. $I=6$.
B. $I=2$.
C. $I=3$.
D. $I=1$.
A. $I=6$.
B. $I=2$.
C. $I=3$.
D. $I=1$.
Đặt $t=\tan x\Rightarrow dt=\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx\Rightarrow \dfrac{dt}{1+{{t}^{2}}}=dx$. Đổi cận $x=0\Rightarrow t=0$ ; $x=\dfrac{\pi }{4}\Rightarrow t=1$.
Do đó: $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( t \right)dt}{1+{{t}^{2}}}}=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+{{x}^{2}}}}=4$.
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+{{x}^{2}}}}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx}{1+{{x}^{2}}}}=4+2\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=6$.
Do đó: $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{4}}{f\left( \tan x \right)dx}=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( t \right)dt}{1+{{t}^{2}}}}=4\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+{{x}^{2}}}}=4$.
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{f\left( x \right)dx}{1+{{x}^{2}}}}+\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{x}^{2}}f\left( x \right)dx}{1+{{x}^{2}}}}=4+2\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=6$.
Đáp án A.