Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(3x)=\dfrac{1}{3}f(x)+{{e}^{x}},~\forall x\in \mathbb{R}.$ Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{3}{xf\prime (x)dx}$
A. $I=e+1.$
B. $I=e+2.$
C. $I=4e-1.$
D. $I=2e+1.$
A. $I=e+1.$
B. $I=e+2.$
C. $I=4e-1.$
D. $I=2e+1.$
Ta có: $I=\int\limits_{1}^{3}{x{f}'\left( x \right)}dx=xf\left( x \right)\left| \begin{matrix}
^{3} \\
_{1} \\
\end{matrix} \right.-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx=3f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}$
Do $3f\left( 3x \right)=f\left( x \right)+3{{e}^{x}}\Rightarrow 3f\left( 3 \right)=f\left( 1 \right)+3e$ (thay $x=1$ )
Do đó $I=3e-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx$
Lấy tích phân 2 vế cận 0→3 ta được $\int\limits_{0}^{1}{3f\left( 3x \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( 3x \right)d3x}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+e-1$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=e-1\Rightarrow I=3e-\left( e-1 \right)=2e+1$
^{3} \\
_{1} \\
\end{matrix} \right.-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx=3f\left( 3 \right)-f\left( 1 \right)-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}$
Do $3f\left( 3x \right)=f\left( x \right)+3{{e}^{x}}\Rightarrow 3f\left( 3 \right)=f\left( 1 \right)+3e$ (thay $x=1$ )
Do đó $I=3e-\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx$
Lấy tích phân 2 vế cận 0→3 ta được $\int\limits_{0}^{1}{3f\left( 3x \right)}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}$
$\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{\left( 3x \right)d3x}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{x}}dx}\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( u \right)}du=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+e-1$
$\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}=e-1\Rightarrow I=3e-\left( e-1 \right)=2e+1$
Đáp án D.