Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f\left( 2\text{x} \right)=3f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}$. Biết rằng $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=1$. Tính tích phân $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}$.
A. $I=3$
B. $I=5$
C. $I=2$
D. $I=6$
A. $I=3$
B. $I=5$
C. $I=2$
D. $I=6$
Ta có: $I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}-1=J-1$
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{3f\left( x \right)d\text{x}}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2\text{x} \right)d\text{x}}=1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 2\text{x} \right)d\text{x}}=3$
Đặt $t=2\text{x}\to dt=2\text{dx}$.
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 2\text{x} \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=3\Rightarrow J=3$
Vậy $I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=3-1=2$.
Ta có: $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)d\text{x}}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{3f\left( x \right)d\text{x}}=\dfrac{1}{3}\int\limits_{0}^{1}{f\left( 2\text{x} \right)d\text{x}}=1\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 2\text{x} \right)d\text{x}}=3$
Đặt $t=2\text{x}\to dt=2\text{dx}$.
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=1\Rightarrow t=2 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{f\left( 2\text{x} \right)d\text{x}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=3\Rightarrow J=3$
Vậy $I=\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}=3-1=2$.
| Sử dụng công thức $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}=\int\limits_{a}^{c}{f\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{c}^{b}{f\left( x \right)d\text{x}}$ Sử dụng giả thiết $f\left( 2\text{x} \right)=3f\left( x \right)$ và phương pháp đổi biến để tính $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)d\text{x}}$. |
Đáp án C.