Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, hàm số $y=f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số $h\left( x \right)=2f\left( 3x+1 \right)-9{{x}^{2}}-6x+4.$ Hãy chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
B. Hàm số $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{3} \right)$
C. Hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{3} \right)$
D. Hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
$h\left( x \right)=2f\left( 3x+1 \right)-9{{x}^{2}}-6x+4\Rightarrow h'\left( x \right)=6f'\left( 3x+1 \right)-6\left( 3x+1 \right).$
Xét bất phương trình:
$h'\left( x \right)>0\Leftrightarrow 6f'\left( 3x+1 \right)-6\left( 3x+1 \right)>0\Leftrightarrow f'\left( 3x+1 \right)>3x+1\left( * \right)$
Quan sát hình vẽ ta thấy:
Xét trên khoảng $\left( -1;4 \right)$ thì $f'\left( x \right)>x\Leftrightarrow -2<x<2$
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow -2<3\text{x}+1<2\Leftrightarrow -1<x<\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow $ Hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{3} \right)$
Chú ý:
Hàm số nghịch biến khi $y'\le 0(y'=0$ với hữu hạn giá trị của x)
A. Hàm số $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$
B. Hàm số $h\left( x \right)$ nghịch biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{3} \right)$
C. Hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{3} \right)$
D. Hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
$h\left( x \right)=2f\left( 3x+1 \right)-9{{x}^{2}}-6x+4\Rightarrow h'\left( x \right)=6f'\left( 3x+1 \right)-6\left( 3x+1 \right).$
Xét bất phương trình:
$h'\left( x \right)>0\Leftrightarrow 6f'\left( 3x+1 \right)-6\left( 3x+1 \right)>0\Leftrightarrow f'\left( 3x+1 \right)>3x+1\left( * \right)$
Quan sát hình vẽ ta thấy:
Xét trên khoảng $\left( -1;4 \right)$ thì $f'\left( x \right)>x\Leftrightarrow -2<x<2$
$\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow -2<3\text{x}+1<2\Leftrightarrow -1<x<\dfrac{1}{3}$
$\Rightarrow $ Hàm số $h\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( -1;\dfrac{1}{3} \right)$
Chú ý:
Hàm số nghịch biến khi $y'\le 0(y'=0$ với hữu hạn giá trị của x)
Đáp án C.