Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $y={f}'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Bất phương trình $f\left( 2\sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x<m$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\pi \right)$ khi và chỉ khi.
A. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
B. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
C. $m\ge f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$.
D. $m>f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$.
$f\left( 2\sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x<m \left( 1 \right)$
Ta có: $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \sin x\in \left( 0;1 \right]$.
Đặt $2\sin x=t\left( t\in \left( 0;2 \right] \right)$ ta được bất phương trình:
$f\left( t \right)-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}<m \left( 2 \right)$.
$\left( 1 \right)$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\pi \right)$ khi và chỉ khi $\left( 2 \right)$ đúng với mọi $t\in \left( 0;2 \right]$
Xét $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}$ với $t\in \left( 0;2 \right]. {g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-t$.
Từ đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y=x$ (hình vẽ) ta có BBT của $g\left( t \right)$ như sau:
Vậy yêu cầu bài toán tương đương với $m>g\left( 1 \right)=f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
A. $m>f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
B. $m\ge f\left( 1 \right)-\dfrac{1}{2}$.
C. $m\ge f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$.
D. $m>f\left( 0 \right)-\dfrac{1}{2}$.
$f\left( 2\sin x \right)-2{{\sin }^{2}}x<m \left( 1 \right)$
Ta có: $x\in \left( 0;\pi \right)\Rightarrow \sin x\in \left( 0;1 \right]$.
Đặt $2\sin x=t\left( t\in \left( 0;2 \right] \right)$ ta được bất phương trình:
$f\left( t \right)-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}<m \left( 2 \right)$.
$\left( 1 \right)$ đúng với mọi $x\in \left( 0;\pi \right)$ khi và chỉ khi $\left( 2 \right)$ đúng với mọi $t\in \left( 0;2 \right]$
Xét $g\left( t \right)=f\left( t \right)-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}$ với $t\in \left( 0;2 \right]. {g}'\left( t \right)={f}'\left( t \right)-t$.
Từ đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ và $y=x$ (hình vẽ) ta có BBT của $g\left( t \right)$ như sau:
Đáp án A.