Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F\left( x \right), G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 8 \right)+ G\left( 8 \right)=8$ và $F\left( 0 \right)+ G\left( 0 \right)=-2$. Khi đó $\int\limits_{-2}^{0}{f\left( -4x \right)}\text{d}x$ bằng
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $5$.
C. $-5$.
D. $-\dfrac{5}{4}$.
A. $\dfrac{5}{4}$.
B. $5$.
C. $-5$.
D. $-\dfrac{5}{4}$.
Đặt $I=\int\limits_{-2}^{0}{f\left( -4x \right)}\text{d}x .$ Đặt $-4x=t\Rightarrow dx=-\dfrac{1}{4}dt.$ Đổi cận:
Khi đó: $I=-\dfrac{1}{4}\int\limits_{8}^{0}{f\left( t \right)}\text{dt=}\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{8}{f\left( t \right)}\text{dt=}\dfrac{1}{4}\int\limits_{0}^{8}{f\left( x \right)}\text{d}x.$
Do $F\left( x \right), G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên có:
$ I \text{=}\dfrac{1}{4}G\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 8 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{4}\left[ G\left( 8 \right)-G\left( 0 \right) \right]\Rightarrow G\left( 8 \right)-G\left( 0 \right)=4I.$ Tương tự cũng có:
$F\left( 8 \right)-F\left( 0 \right)=4I$.
Suy ra: $8I=F\left( 8 \right)+ G\left( 8 \right)-F\left( 0 \right)- G\left( 0 \right)=8-\left( -2 \right)=10\Rightarrow I=\dfrac{5}{4}.$.
Do $F\left( x \right), G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên có:
$ I \text{=}\dfrac{1}{4}G\left( x \right)\left| \begin{aligned}
& 8 \\
& 0 \\
\end{aligned} \right.=\dfrac{1}{4}\left[ G\left( 8 \right)-G\left( 0 \right) \right]\Rightarrow G\left( 8 \right)-G\left( 0 \right)=4I.$ Tương tự cũng có:
$F\left( 8 \right)-F\left( 0 \right)=4I$.
Suy ra: $8I=F\left( 8 \right)+ G\left( 8 \right)-F\left( 0 \right)- G\left( 0 \right)=8-\left( -2 \right)=10\Rightarrow I=\dfrac{5}{4}.$.
Đáp án A.