Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F\left( x \right),G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 5 \right)+G\left( 5 \right)=-2$ và $F\left( 3 \right)+G\left( 3 \right)=0$. Tính $I=\int_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\sin }2x.f\left( 2{{\sin }^{2}}x+3 \right)\text{d}x$.
A. $-\dfrac{1}{4}$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $-\dfrac{1}{2}$.
A. $-\dfrac{1}{4}$.
B. $2$.
C. $3$.
D. $-\dfrac{1}{2}$.
Đặt $t=2{{\sin }^{2}}x+3$ $\Rightarrow dt=4\sin x.\cos x\text{d}x\Rightarrow \dfrac{1}{2}dt=\sin 2x\text{d}x$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=3$ ; $x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=5$.
Ta có: $I=\int\limits_{3}^{5}{f\left( t \right)}.\dfrac{1}{2}\text{d}t=\dfrac{1}{2}\left. F\left( t \right) \right|_{3}^{5}=\dfrac{1}{2}\left[ F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right) \right]$.
Do $F\left( x \right),G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên ta có: $F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$.
Theo giả thiết, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& F\left( 5 \right)+G\left( 5 \right)=-2 \\
& F\left( 3 \right)+G\left( 3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 5 \right)+F\left( 5 \right)-C=-2 \\
& F\left( 3 \right)+F\left( 3 \right)-C=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 5 \right)=-1+\dfrac{C}{2} \\
& F\left( 3 \right)=\dfrac{C}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $I=\dfrac{1}{2}\left[ F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left( -1+\dfrac{C}{2}-\dfrac{C}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=3$ ; $x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=5$.
Ta có: $I=\int\limits_{3}^{5}{f\left( t \right)}.\dfrac{1}{2}\text{d}t=\dfrac{1}{2}\left. F\left( t \right) \right|_{3}^{5}=\dfrac{1}{2}\left[ F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right) \right]$.
Do $F\left( x \right),G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ nên ta có: $F\left( x \right)=G\left( x \right)+C$.
Theo giả thiết, ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& F\left( 5 \right)+G\left( 5 \right)=-2 \\
& F\left( 3 \right)+G\left( 3 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 5 \right)+F\left( 5 \right)-C=-2 \\
& F\left( 3 \right)+F\left( 3 \right)-C=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& F\left( 5 \right)=-1+\dfrac{C}{2} \\
& F\left( 3 \right)=\dfrac{C}{2} \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy $I=\dfrac{1}{2}\left[ F\left( 5 \right)-F\left( 3 \right) \right]=\dfrac{1}{2}\left( -1+\dfrac{C}{2}-\dfrac{C}{2} \right)=-\dfrac{1}{2}$.
Đáp án D.