Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Gọi $F\left( x \right),G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $F\left( 4 \right)+G\left( 4 \right)=4$ và $F\left( 0 \right)+G\left( 0 \right)=1$. Khi đó $\int\limits_{0}^{2}{f}\left( 2x \right)\text{d}x$ bằng
A. 3.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. 6.
D. $\dfrac{3}{2}$.
A. 3.
B. $\dfrac{3}{4}$.
C. 6.
D. $\dfrac{3}{2}$.
Ta có: $G\left( x \right)=F\left( x \right)+C$
$\left\{ \begin{aligned}
& F(4)+G(4)=4 \\
& F(0)+G(0)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2F(4)+C=4 \\
& 2F(0)+C=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow F(4)-F(0)=\dfrac{3}{2}.$
Vậy:
$\int\limits_{0}^{2}{f(2x)dx}=\int\limits_{0}^{4}{f(x)dx=F(4)-F(0)=\dfrac{3}{2}.}$
$\left\{ \begin{aligned}
& F(4)+G(4)=4 \\
& F(0)+G(0)=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& 2F(4)+C=4 \\
& 2F(0)+C=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow F(4)-F(0)=\dfrac{3}{2}.$
Vậy:
$\int\limits_{0}^{2}{f(2x)dx}=\int\limits_{0}^{4}{f(x)dx=F(4)-F(0)=\dfrac{3}{2}.}$
Đáp án D.