Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ như hình sau:
Hàm số $g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{x}^{2}}+2\text{x}+2020$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left( -3;1 \right)$.
C. $\left( 1;3 \right)$.
D. $\left( -2;0 \right)$.
A. $\left( 0;1 \right)$.
B. $\left( -3;1 \right)$.
C. $\left( 1;3 \right)$.
D. $\left( -2;0 \right)$.
Ta có $g\left( x \right)=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{x}^{2}}+2x+2020=2f\left( \left| x-1 \right| \right)-{{\left| x-1 \right|}^{2}}+2021$
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left[ 2{f}'\left( \left| x-1 \right| \right)-2\left| x-1 \right| \right].\dfrac{x-1}{\left| x-1 \right|}$ với mọi $x\ne 1$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( \left| x-1 \right| \right)=\left| x-1 \right|$
Ta vẽ đường thẳng $y=x$ cắt đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ tại các điểm $x=-1,x=1,x=3$ như hình vẽ sau:
Dựa vào đồ thị của hai hàm số trên ta có ${f}'\left( \left| x-1 \right| \right)=\left| x-1 \right|\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| x-1 \right|=-1 \\
& \left| x-1 \right|=1 \\
& \left| x-1 \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=-2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ ta có
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \
$\Rightarrow {g}'\left( x \right)=\left[ 2{f}'\left( \left| x-1 \right| \right)-2\left| x-1 \right| \right].\dfrac{x-1}{\left| x-1 \right|}$ với mọi $x\ne 1$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( \left| x-1 \right| \right)=\left| x-1 \right|$
Ta vẽ đường thẳng $y=x$ cắt đồ thị hàm số $y={f}'\left( x \right)$ tại các điểm $x=-1,x=1,x=3$ như hình vẽ sau:
& \left| x-1 \right|=-1 \\
& \left| x-1 \right|=1 \\
& \left| x-1 \right|=3 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
& x=-2 \\
& x=4 \\
\end{aligned} \right.$.
Lập bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ ta có
Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;1 \
Đáp án A.