Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R},$ có đồ...

Đặt $t=\dfrac{8x}{{{x}^{2}}+1}.$
Ta có: $t'=\dfrac{-8{{x}^{2}}+8}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}};t'=0\Leftrightarrow x=\pm 1.$
Bảng biến thiên:

$\Rightarrow t\in \left[ -4;4 \right].$
Xét hàm số: $h\left( t \right)=f\left( t \right)+a-1,t\in \left[ -4;4 \right],$ ta có: $h'\left( t \right)=f'\left( t \right).$
$h'\left( t \right)=0\Leftrightarrow f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-4\in \left[ -4;4 \right] \\
& t=-2\in \left[ -4;4 \right] \\
& t=2\in \left[ -4;4 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$\underset{\left[ -4;4 \right]}{\mathop{\max }} \left| h\left( t \right) \right|=Max\left\{ \left| a+5 \right|;\left| a-5 \right| \right\}.$
Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| a+5 \right|\le 20 \\
& \left| a-5 \right|\le 20 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -20\le a+5\le 20 \\
& -20\le a-5\le 20 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -25\le a\le 15 \\
& -15\le a\le 25 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow -15\le a\le 15$.
Vậy có tất cả 31 giá trị nguyên của tham số $a$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.