Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\int\limits_{1}^{{{e}^{3}}}{\dfrac{f\left( \operatorname{lnx} \right)}{x}}dx=7$, $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \cos x \right).\sin x}dx=3$. Tính $\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx$.
A. $12$.
B. $15$.
C. $10$.
D. $-10$.
A. $12$.
B. $15$.
C. $10$.
D. $-10$.
Xét tích phân $A=\int\limits_{1}^{{{e}^{3}}}{\dfrac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx$.
Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{x}dx$, đổi cận $x=1\Rightarrow t=0$, $x={{e}^{3}}\Rightarrow t=3$.
Do đó $A=\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}$.
Xét tích phân $B=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \cos x \right).\sin x}dx$.
Đặt $u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx$, đổi cận $x=0\Rightarrow u=1$, $x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow u=0$.
Do đó $A=\int\limits_{1}^{0}{-f\left( u \right)du}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$.
Xét $\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx$ $=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{1}^{3}{2x}dx=$ $\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\left. {{x}^{2}} \right|_{1}^{3}$ $=7-3+8=12$.
Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{1}{x}dx$, đổi cận $x=1\Rightarrow t=0$, $x={{e}^{3}}\Rightarrow t=3$.
Do đó $A=\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}$.
Xét tích phân $B=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( \cos x \right).\sin x}dx$.
Đặt $u=\cos x\Rightarrow du=-\sin xdx$, đổi cận $x=0\Rightarrow u=1$, $x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow u=0$.
Do đó $A=\int\limits_{1}^{0}{-f\left( u \right)du}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$.
Xét $\int\limits_{1}^{3}{\left( f\left( x \right)+2x \right)}dx$ $=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)}dx+\int\limits_{1}^{3}{2x}dx=$ $\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)}dx-\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)}dx+\left. {{x}^{2}} \right|_{1}^{3}$ $=7-3+8=12$.
Đáp án A.