Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $R$ . Biết...

The Funny · 25/5/23

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

R

. Biết

f (x) > - 1, \forall x \in R, f (0) = 0

và thoả mãn

f^{'} (x) \sqrt{x^{2} + 1} = 2 x \sqrt{f (x) + 1}

. Khi đó,

\int_{0}^{\sqrt{3}} f^{'} (x) d x

bằng
A. 0.
B. 3.
C. 9.
D. 5.

Ta có:

f^{'} (x) \sqrt{x^{2} + 1} = 2 x \sqrt{f (x) + 1}

\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{2 \sqrt{f (x) + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Leftrightarrow {[\sqrt{f (x) + 1}]}^{'} = {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{'}

Suy ra

\sqrt{f (x) + 1} = \sqrt{x^{2} + 1} + C

. Do

f (0) = 0

nên

C = 0

.
Do đó,

f (x) = x^{2}

. Khi đó,

\int_{0}^{\sqrt{3}} f^{'} (x) d x = \int_{0}^{\sqrt{3}} 2 x d x = 3

.

Đáp án B.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Biết...