Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết $f\left( x \right)>1,f\left( 0 \right)=0$ và thỏa mãn ${f}'\left( x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f\left( x \right)+1}.$ Khi đó $\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{{f}'\left( x \right) \text{d}x}$ bằng
A. $3$.
B. $8$.
C. $-1$.
D. $6$.
A. $3$.
B. $8$.
C. $-1$.
D. $6$.
Ta có ${f}'\left( x \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=2x\sqrt{f\left( x \right)+1}\Leftrightarrow \dfrac{{f}'\left( x \right)}{2\sqrt{f\left( x \right)+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}$
$\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)+1}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$
Mà $f\left( 0 \right)=0$ nên $C=0$. Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}$.
Khi đó $\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{{f}'\left( x \right) \text{d}x}=\left. f\left( x \right) \right|_{0}^{2\sqrt{2}}=\left. {{x}^{2}} \right|_{0}^{2\sqrt{2}}=8$.
$\Rightarrow \sqrt{f\left( x \right)+1}=\sqrt{{{x}^{2}}+1}+C$
Mà $f\left( 0 \right)=0$ nên $C=0$. Suy ra $f\left( x \right)={{x}^{2}}$.
Khi đó $\int\limits_{0}^{2\sqrt{2}}{{f}'\left( x \right) \text{d}x}=\left. f\left( x \right) \right|_{0}^{2\sqrt{2}}=\left. {{x}^{2}} \right|_{0}^{2\sqrt{2}}=8$.
Đáp án B.