Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, biết...

Tính $A=\int\limits_{1}^{{{e}^{6}}}{\dfrac{f\left( \ln \sqrt{x} \right)}{x}dx}=6$
Đặt $t=\ln \sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\ln x\Rightarrow dt=\dfrac{dx}{2x}\Leftrightarrow \dfrac{dx}{x}=2dt.$
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=1\Rightarrow t=0 \\
& x={{e}^{6}}\Rightarrow t=3 \\
\end{aligned} \right.$
$A=2\int\limits_{0}^{3}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}=6\Leftrightarrow P=\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx}=3$
Tính $B=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( {{\cos }^{2}}x \right)\sin 2xdx}=2$
Đặt $u={{\cos }^{2}}x\Rightarrow du=-2\cos x.\sin xdx=-\sin 2xdx\Leftrightarrow \sin 2xdx=-du$.
Đổi cận $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow u=1 \\
& x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow u=0 \\
\end{aligned} \right.$
$B=-\int\limits_{1}^{0}{f\left( u \right)}dx=\int\limits_{0}^{1}{f\left( u \right)du}=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2\Leftrightarrow Q=\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=2.$
$I=\int\limits_{1}^{3}{\left[ 2f\left( x \right)+3 \right]dx}=2\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}+3\int\limits_{1}^{3}{dx}=2\left[ \int\limits_{1}^{0}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx} \right]+6$
$I=2\left[ -\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}+\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)dx} \right]+6=2\left( P-Q \right)+6=8$. Vậy $I=8.$