Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 3; 7 \right]$, thoả mãn $f\left( x \right)=f\left( 10-x \right)$ với mọi $x\in \left[ 3; 7 \right]$ và $\int\limits_{3}^{7}{f\left( x \right)\text{d}x=4}$. Tích phân $\int\limits_{3}^{7}{xf\left( x \right)\text{d}x}$ bằng
A. $80$.
B. $60$.
C. $20$.
D. $40$.
A. $80$.
B. $60$.
C. $20$.
D. $40$.
Xét $I=\int\limits_{3}^{7}{xf\left( x \right)\text{d}x}$.
Đặt $x=10-t\Rightarrow dx=-dt$.
Đổi cận $x=3\Rightarrow t=7; x=7\Rightarrow t=3$.
Ta có $I=\int\limits_{3}^{7}{\left( 10-t \right)f\left( 10-t \right)\text{dt}}=\int\limits_{3}^{7}{\left( 10-t \right)f\left( t \right)\text{dt}}=10\int\limits_{3}^{7}{f\left( t \right)\text{dt}}-\int\limits_{3}^{7}{tf\left( t \right)\text{dt}}=10.4-I$.
Suy ra $2I=40\Rightarrow I=20$.
Đặt $x=10-t\Rightarrow dx=-dt$.
Đổi cận $x=3\Rightarrow t=7; x=7\Rightarrow t=3$.
Ta có $I=\int\limits_{3}^{7}{\left( 10-t \right)f\left( 10-t \right)\text{dt}}=\int\limits_{3}^{7}{\left( 10-t \right)f\left( t \right)\text{dt}}=10\int\limits_{3}^{7}{f\left( t \right)\text{dt}}-\int\limits_{3}^{7}{tf\left( t \right)\text{dt}}=10.4-I$.
Suy ra $2I=40\Rightarrow I=20$.
Đáp án C.