Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ -1;+\infty \right)$ và $\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)d\text{x}}=4$. Tính $\int\limits_{1}^{2}{x.\left( f(x)+2 \right)d\text{x}}$.
A. $I=5$
B. $I=7$
C. $I=16$
D. $I=12$
A. $I=5$
B. $I=7$
C. $I=16$
D. $I=12$
Đặt $t=\sqrt{x+1}\Rightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow 2t\text{d}t=d\text{x}$
$x=0\Rightarrow t=1;x=3\Rightarrow t=2$.
Ta có $\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)d\text{x}}=\int\limits_{1}^{2}{2tf\left( t \right)dt}\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{tf\left( t \right)dt}=2$ ;
$I=\int\limits_{1}^{2}{x.\left( f(x)+2 \right)d\text{x}}=\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{2\text{xdx}}=2+3=5$.
$x=0\Rightarrow t=1;x=3\Rightarrow t=2$.
Ta có $\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)d\text{x}}=\int\limits_{1}^{2}{2tf\left( t \right)dt}\Rightarrow \int\limits_{1}^{2}{tf\left( t \right)dt}=2$ ;
$I=\int\limits_{1}^{2}{x.\left( f(x)+2 \right)d\text{x}}=\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)d\text{x}}+\int\limits_{1}^{2}{2\text{xdx}}=2+3=5$.
Đáp án A.