Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left( 0;+\infty \right)$ và thỏa $\int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt}=x.\cos \pi x.$ Tính $f\left( 4 \right).$
A. $f\left( 4 \right)=123.$
B. $f\left( 4 \right)=\dfrac{2}{3}.$
C. $f\left( 4 \right)=\dfrac{3}{4}.$
D. $f\left( 4 \right)=\dfrac{1}{4}.$
A. $f\left( 4 \right)=123.$
B. $f\left( 4 \right)=\dfrac{2}{3}.$
C. $f\left( 4 \right)=\dfrac{3}{4}.$
D. $f\left( 4 \right)=\dfrac{1}{4}.$
Ta có: Đặt $\int{f\left( t \right)dt}=F\left( t \right)\Rightarrow {F}'\left( t \right)=f\left( t \right)$
Đặt $\Rightarrow \int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt}=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right)=x\cos \pi x$
Đạo hàm hai vế $\Rightarrow {{\left( F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right) \right)}^{\prime }}={{\left( x\cos \pi x \right)}^{\prime }}$
$\Rightarrow 2x.f\left( {{x}^{2}} \right)=-x\pi \sin \pi x+\cos \pi x\left( 1 \right)$ vì ${{\left[ F\left( {{x}^{2}} \right) \right]}^{\prime }}=2x.f\left( {{x}^{2}} \right)$
Tính $f\left( 4 \right)\Rightarrow $ ứng với $x=2$
Thay $x=2$ vào $\left( 1 \right)\Rightarrow 4.f\left( 4 \right)=-2\pi \sin 2\pi +\cos 2\pi =1\Rightarrow f\left( 4 \right)=\dfrac{1}{4}$
Đặt $\Rightarrow \int\limits_{0}^{{{x}^{2}}}{f\left( t \right)dt}=F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right)=x\cos \pi x$
Đạo hàm hai vế $\Rightarrow {{\left( F\left( {{x}^{2}} \right)-F\left( 0 \right) \right)}^{\prime }}={{\left( x\cos \pi x \right)}^{\prime }}$
$\Rightarrow 2x.f\left( {{x}^{2}} \right)=-x\pi \sin \pi x+\cos \pi x\left( 1 \right)$ vì ${{\left[ F\left( {{x}^{2}} \right) \right]}^{\prime }}=2x.f\left( {{x}^{2}} \right)$
Tính $f\left( 4 \right)\Rightarrow $ ứng với $x=2$
Thay $x=2$ vào $\left( 1 \right)\Rightarrow 4.f\left( 4 \right)=-2\pi \sin 2\pi +\cos 2\pi =1\Rightarrow f\left( 4 \right)=\dfrac{1}{4}$
Đáp án D.