Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ 0;+\infty \right)$ và thỏa mãn $f\left( {{x}^{2}}+4\text{x} \right)=-2{{\text{x}}^{2}}-7\text{x}+1$, $\forall x\in \left[ 0;+\infty \right)$. Biết $f\left( 5 \right)=-8$, tính $I=\int\limits_{0}^{5}{x.{f}'\left( x \right)d\text{x}}$ ?
A. $I=-\dfrac{68}{3}$
B. $I=-\dfrac{35}{3}$
C. $I=-\dfrac{52}{3}$
D. $I=-\dfrac{62}{3}$
A. $I=-\dfrac{68}{3}$
B. $I=-\dfrac{35}{3}$
C. $I=-\dfrac{52}{3}$
D. $I=-\dfrac{62}{3}$
Ta có $f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=-2{{x}^{2}}-7x+1\Leftrightarrow \left( 2x+4 \right)f\left( {{x}^{2}}+4x \right)=\left( -2{{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( 2x+4 \right)$.
Lấy tích phân cận chạy từ 0 → 1 hai vế ta được:
$\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( -2{{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( 2x+4 \right)}dx=-\dfrac{52}{3}$.
Xét $\int\limits_{0}^{1}{\left( 2\text{x}+4 \right)f\left( {{x}^{2}}+4\text{x} \right)d\text{x}}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t={{x}^{2}}+4x\Rightarrow dt=\left( 2x+4 \right)dx \\
x=0\to t=0,x=1\to t=5 \\
\end{array} \right.$. Khi đó ta có:
$\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{5}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-\dfrac{52}{3}$.
Xét $I=\int\limits_{0}^{5}{x.{f}'\left( x \right)dx}=\left. xf\left( x \right) \right|_{0}^{5}-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-40-\left( -\dfrac{52}{3} \right)=-\dfrac{68}{3}$.
Lấy tích phân cận chạy từ 0 → 1 hai vế ta được:
$\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( -2{{x}^{2}}-7x+1 \right)\left( 2x+4 \right)}dx=-\dfrac{52}{3}$.
Xét $\int\limits_{0}^{1}{\left( 2\text{x}+4 \right)f\left( {{x}^{2}}+4\text{x} \right)d\text{x}}$. Đặt $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
t={{x}^{2}}+4x\Rightarrow dt=\left( 2x+4 \right)dx \\
x=0\to t=0,x=1\to t=5 \\
\end{array} \right.$. Khi đó ta có:
$\int\limits_{0}^{1}{\left( 2x+4 \right)}f\left( {{x}^{2}}+4x \right)dx=\int\limits_{0}^{5}{f\left( t \right)}dt=\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-\dfrac{52}{3}$.
Xét $I=\int\limits_{0}^{5}{x.{f}'\left( x \right)dx}=\left. xf\left( x \right) \right|_{0}^{5}-\int\limits_{0}^{5}{f\left( x \right)}dx=-40-\left( -\dfrac{52}{3} \right)=-\dfrac{68}{3}$.
Đáp án A.