Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 1;4 \right]$ và thỏa mãn $f\left( x \right)=\dfrac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x}$. Tích phân $I=\int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}$ là
A. $I=2\ln 2$.
B. $I=3+2{{\ln }^{2}}2$.
C. $I=2{{\ln }^{2}}2$.
D. $I={{\ln }^{2}}2$.
A. $I=2\ln 2$.
B. $I=3+2{{\ln }^{2}}2$.
C. $I=2{{\ln }^{2}}2$.
D. $I={{\ln }^{2}}2$.
Ta có $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{4}{\left[ \dfrac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}+\dfrac{\ln x}{x} \right]}dx=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}dx}+\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{\ln x}{x}dx}$.
Xét $K=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}dx}$. Đặt $2\sqrt{x}-1=t\Rightarrow \sqrt{x}=\dfrac{t+1}{2}\Rightarrow \dfrac{dx}{\sqrt{x}}=dt$
$\Rightarrow K=\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}$.
Xét $M=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{\ln x}{x}dx}=\int\limits_{1}^{4}{\ln xd\left( \ln x \right)}=\left. \dfrac{{{\ln }^{2}}x}{2} \right|_{1}^{4}=2{{\ln }^{2}}2$.
Do đó $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}+2{{\ln }^{2}}2\Rightarrow \int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}=2{{\ln }^{2}}2$.
Xét $K=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{f\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}{\sqrt{x}}dx}$. Đặt $2\sqrt{x}-1=t\Rightarrow \sqrt{x}=\dfrac{t+1}{2}\Rightarrow \dfrac{dx}{\sqrt{x}}=dt$
$\Rightarrow K=\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}$.
Xét $M=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{\ln x}{x}dx}=\int\limits_{1}^{4}{\ln xd\left( \ln x \right)}=\left. \dfrac{{{\ln }^{2}}x}{2} \right|_{1}^{4}=2{{\ln }^{2}}2$.
Do đó $\int\limits_{1}^{4}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)dx}+2{{\ln }^{2}}2\Rightarrow \int\limits_{3}^{4}{f\left( x \right)dx}=2{{\ln }^{2}}2$.
Đáp án C.