T

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;4...

Tác giả The Knowledge
Creation date 7/1/22
Tags

trắc nghiệm toán 12

Đăng kí nhanh tài khoản với

7/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên đoạn

[0; 4]

thỏa mãn

f^{″} (x) f (x) + \frac{{[f (x)]}^{2}}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} = {[f^{'} (x)]}^{2}

và

f (x) > 0

với mọi

x \in [0; 4] .

Biết rằng

f^{'} (0) = f (0) = 1,

giá trị của

f (4)

bằng
A.

e^{2}

B.

2 e

C.

e^{3}

D.

e^{2} + 1

Ta có:

f^{″} (x) f (x) + \frac{{[f (x)]}^{2}}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} = {[f^{'} (x)]}^{2} \Leftrightarrow f^{″} (x) f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2} = - \frac{{[f (x)]}^{2}}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}}

\Leftrightarrow \frac{f^{″} (x) f (x) - {[f^{'} (x)]}^{2}}{{[f (x)]}^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} \Leftrightarrow {(\frac{f^{'} (x)}{f (x)})}^{^{'}} = - \frac{1}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}}

\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = - \int \frac{1}{\sqrt{{(2 x + 1)}^{3}}} d x \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = - \int {(2 x + 1)}^{\frac{- 3}{2}} d x \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} + C_{1}

Thay

x = 0

ta được

C_{1} = 0

\Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} \Rightarrow \int_{}^{} \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int \frac{d x}{\sqrt{2 x + 1}} \Leftrightarrow \ln [f (x)] = \sqrt{2 x + 1} + C_{2}

Thay

x = 0

ta được

C_{2} = - 1.

\Rightarrow \ln [f (x)] = \sqrt{2 x + 1} - 1

Thay

x = 4

ta được

\ln [f (4)] = 2 \Rightarrow f (4) = e^{2} .

Đáp án A.

Click để xem thêm...

Bạn phải đăng nhập hoặc đăng kí để trả lời.

Chia sẻ:

Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Link

Quảng cáo

Top