Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0 ; 2 \right]$ và thoả mãn $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=6$. Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( 2\sin x \right)\cos x\text{d}x}$ bằng
A. $-6$.
B. $-3$.
C. $3$.
D. $6$.
A. $-6$.
B. $-3$.
C. $3$.
D. $6$.
Đặt: $t=2\sin x\Rightarrow \dfrac{1}{2}\text{d}t=\cos x\text{d}x$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$, $x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=2$
Do đó ta có
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( 2\sin x \right)\cos x\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)\dfrac{\text{d}t}{2}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}=\dfrac{1}{2}\cdot 6=3$.
Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0$, $x=\dfrac{\pi }{2}\Rightarrow t=2$
Do đó ta có
$\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{f\left( 2\sin x \right)\cos x\text{d}x}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)\dfrac{\text{d}t}{2}}=\dfrac{1}{2}\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}=\dfrac{1}{2}\cdot 6=3$.
Đáp án C.