Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;2...

The Professor · 28/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên đoạn

[0; 2]

thoả mãn

f (0) = 1

và

f (x) . f (2 - x) = e^{2 x^{2} - 4 x}, \forall x \in [0; 2]

. Tích phân

\int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) f^{'} (x)}{f (x)} d x

có giá trị bằng
A.

- \frac{14}{3}

.
B.

- \frac{32}{5}

.
C.

- \frac{16}{3}

.
D.

- \frac{16}{5}

.

Thay

x = 0

vào đẳng thức, ta có

f (0) . f (2) = 1 \Rightarrow f (2) = 1.

Sử dụng tích chất:

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (a + b - x) d x

, ta có:

I = \int_{0}^{2} \frac{(x^{3} - 3 x^{2}) f^{'} (x)}{f (x)} d x

và

I = \int_{0}^{2} \frac{({(2 - x)}^{3} - 3 {(2 - x)}^{2}) f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)} d x = \int_{0}^{2} \frac{(- x^{3} + 3 x^{2} - 4) f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)} d x

.
Cộng vế theo vế, ta được:

2 I = \int_{0}^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{f^{'} (x)}{f (x)} - \frac{f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)}) d x - 4 \int_{0}^{2} \frac{f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)} d x .

Trong đó

\int_{0}^{2} \frac{f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)} d x = \ln | f (2 - x) | |_{0}^{2} = \ln \frac{f (0)}{f (2)} = \ln 1 = 0

.
Do đó,

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{f^{'} (x)}{f (x)} - \frac{f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)}) d x

.
Đạo hàm hai vế của đẳng thức, ta có:

f^{'} (x) f (2 - x) - f^{'} (2 - x) f (x) = (4 x - 4) e^{2 x^{2} - 4}

.

\Leftrightarrow \frac{f^{'} (x) f (2 - x) - f^{'} (2 - x) f (x)}{f (x) . f (2 - x)} = \frac{(4 x - 4) e^{2 x^{2} - 4}}{f (x) . f (2 - x)} = 4 x - 4 \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f^{'} (x)} - \frac{f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)} = 4 x - 4

Do đó,

I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) (\frac{f^{'} (x)}{f (x)} - \frac{f^{'} (2 - x)}{f (2 - x)}) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} (x^{3} - 3 x^{2}) (4 x - 4) d x = - \frac{16}{5}

.

Đáp án D.

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $\left[ 0;2...