Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ và thỏa mãn $2f\left( x \right)-f\left( 1-x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ với mọi $x\in \left[ 0;1 \right]$. Tích phân $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $\dfrac{\pi }{4}.$
B. $\dfrac{\pi }{8}.$
C. $\dfrac{\pi }{12}.$
D. $\dfrac{\pi }{6}.$
A. $\dfrac{\pi }{4}.$
B. $\dfrac{\pi }{8}.$
C. $\dfrac{\pi }{12}.$
D. $\dfrac{\pi }{6}.$
Từ giả thiết suy ra $2f\left( 1-x \right)-f\left( x \right)=\sqrt{1-{{\left( 1-x \right)}^{2}}}$ với mọi $x\in \left[ 0;1 \right].$
Lại có $2f\left( x \right)-f\left( 1-x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ với mọi $x\in \left[ 0;1 \right].$
Suy ra $3f\left( x \right)=2\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\sqrt{1-{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{3}\sqrt{1-{{\left( 1-x \right)}^{2}}}.$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{2}{3}\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{3}\sqrt{1-{{\left( 1-x \right)}^{2}}} \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx.}}}$
(vì $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-\left( 1-{{x}^{2}} \right)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt}$ )
Đặt $x=\sin u\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}udu}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{1+\cos 2u}{2}du}=\dfrac{\pi }{4}.$
Bước 2: Tính toán tích phân $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}.$
Lại có $2f\left( x \right)-f\left( 1-x \right)=\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ với mọi $x\in \left[ 0;1 \right].$
Suy ra $3f\left( x \right)=2\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\sqrt{1-{{\left( 1-x \right)}^{2}}}\Leftrightarrow f\left( x \right)=\dfrac{2}{3}\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{3}\sqrt{1-{{\left( 1-x \right)}^{2}}}.$
Vậy $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\left( \dfrac{2}{3}\sqrt{1-{{x}^{2}}}+\dfrac{1}{3}\sqrt{1-{{\left( 1-x \right)}^{2}}} \right)dx=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx.}}}$
(vì $\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-\left( 1-{{x}^{2}} \right)}dx}=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{t}^{2}}}dt}$ )
Đặt $x=\sin u\Rightarrow \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}udu}=\int\limits_{0}^{\dfrac{\pi }{2}}{\dfrac{1+\cos 2u}{2}du}=\dfrac{\pi }{4}.$
Note 60: Phương pháp chung
Bước 1: Giả sử đẳng thức cho ở dạng $mf\left( x \right)+nf\left( k-x \right)=g\left( x \right)$ (1). Bằng cách thay x bởi $k-x$ ta được $mf\left( k-x \right)+nf\left( x \right)=g\left( k-x \right)$ (2). Giải hệ (1), (2) để tìm ra hàm số $y=f\left( x \right)$.Bước 2: Tính toán tích phân $I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}.$
Đáp án A.