Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn [-1; 1] và thỏa $f\left( -x \right)+2020f\left( x \right)={{2}^{x}},\forall x\in \left[ -1;1 \right].$
Giá trị của tích phân $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $I=\dfrac{3}{4042\ln 2}.$
B. $I=\dfrac{3}{4040\ln 2}.$
C. $I=\dfrac{1}{2020\ln 2}.$
D. $I=\dfrac{1}{2021\ln 2}.$
Giá trị của tích phân $\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}$ bằng
A. $I=\dfrac{3}{4042\ln 2}.$
B. $I=\dfrac{3}{4040\ln 2}.$
C. $I=\dfrac{1}{2020\ln 2}.$
D. $I=\dfrac{1}{2021\ln 2}.$
Ta có công thức $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( a+b-x \right)dx}\left( * \right)$
(Học sinh có thể chứng minh bằng cách đặt $t=a+b-x$ )
$f\left( -x \right)+2020f\left( x \right)={{2}^{x}}\Leftrightarrow f\left( -x \right)={{2}^{x}}-2020f\left( x \right)\left( 1 \right)$
Áp dụng (*) ta có: $I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( 1+\left( -1 \right)-x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right)dx}.$
$\Rightarrow I=\int\limits_{-1}^{1}{\left[ {{2}^{x}}-2020f\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{1}{{{2}^{x}}dx-2020\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}.}$
$\Leftrightarrow I=\left. \dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \right|_{-1}^{1}-2020I\Leftrightarrow 2021I=\dfrac{3}{2\ln 2}\Leftrightarrow I=\dfrac{3}{4042\ln 2}$
(Học sinh có thể chứng minh bằng cách đặt $t=a+b-x$ )
$f\left( -x \right)+2020f\left( x \right)={{2}^{x}}\Leftrightarrow f\left( -x \right)={{2}^{x}}-2020f\left( x \right)\left( 1 \right)$
Áp dụng (*) ta có: $I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( 1+\left( -1 \right)-x \right)dx}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( -x \right)dx}.$
$\Rightarrow I=\int\limits_{-1}^{1}{\left[ {{2}^{x}}-2020f\left( x \right) \right]dx}=\int\limits_{-1}^{1}{{{2}^{x}}dx-2020\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}.}$
$\Leftrightarrow I=\left. \dfrac{{{2}^{x}}}{\ln 2} \right|_{-1}^{1}-2020I\Leftrightarrow 2021I=\dfrac{3}{2\ln 2}\Leftrightarrow I=\dfrac{3}{4042\ln 2}$
Đáp án A.