Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn...

The Professor · 15/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

2 f (x) + 3 f (1 - x) = x \sqrt{1 - x},

với mọi

x \in [0; 1] .

Tích phân

\int_{0}^{2} x f^{'} (\frac{x}{2})

bằng
A.

- \frac{4}{75} .

B.

- \frac{4}{25} .

C.

- \frac{16}{75} .

D.

- \frac{16}{25} .

Đặt

t = \frac{x}{2} \Rightarrow d t = \frac{1}{2} d x .

Đổi cận:

{\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow t = 0 \\ x = 2 \Rightarrow t = 1 \end{aligned} .

Khi đó tích phẩn cần tính:

I = \int_{0}^{1} 2 t . f^{'} (t) 2 d t = 4 \int_{0}^{1} t . f^{'} (t) d t = 4 \int_{0}^{1} t . d (f (t))

= {4 t . f (t) |}_{0}^{1} - 4 \int_{0}^{1} f (t) d t = 4 f (1) - 4 \int_{0}^{1} f (t) d t

(1).
Theo tính chất tích phân có

\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{2 + 3} \int_{0}^{1} [2 f (x) + 3 f (1 - x)] d x = \frac{1}{5} \int_{0}^{1} x \sqrt{1 - x} d x = \frac{4}{75}

(2).
Thay lần lượt

x = 0; x = 1

vào đẳng thức đã cho có:

{\begin{aligned} 2 f (0) + 3 f (1) = 0 \\ 2 f (1) + 3 f (0) = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow f (1) = f (0) = 0

(3).
Kết hợp (1), (2), (3) có

I = - \frac{16}{75} .

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn...