Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn...

Đặt $t=\dfrac{x}{2}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2}dx.$
Đổi cận: $\left\{ \begin{aligned}
& x=0\Rightarrow t=0 \\
& x=2\Rightarrow t=1 \\
\end{aligned} \right..$
Khi đó tích phẩn cần tính: $I=\int\limits_{0}^{1}{2t.{f}'\left( t \right)2dt=4\int\limits_{0}^{1}{t.{f}'\left( t \right)dt}=4\int\limits_{0}^{1}{t.d\left( f\left( t \right) \right)}}$
$=\left. 4t.f\left( t \right) \right|_{0}^{1}-4\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=4f\left( 1 \right)-4\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}$ (1).
Theo tính chất tích phân có
$\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\dfrac{1}{2+3}\int\limits_{0}^{1}{\left[ 2f\left( x \right)+3f\left( 1-x \right) \right]dx}=\dfrac{1}{5}\int\limits_{0}^{1}{x\sqrt{1-x}dx}=\dfrac{4}{75}$ (2).
Thay lần lượt $x=0;x=1$ vào đẳng thức đã cho có:
$\left\{ \begin{aligned}
& 2f\left( 0 \right)+3f\left( 1 \right)=0 \\
& 2f\left( 1 \right)+3f\left( 0 \right)=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow f\left( 1 \right)=f\left( 0 \right)=0$ (3).
Kết hợp (1), (2), (3) có $I=-\dfrac{16}{75}.$