Cho hàm số $f (x)$ liên tục, đồng biến trên...

The Knowledge · 13/1/22

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x)

liên tục, đồng biến trên

R

, có đạo hàm trên

R

. thỏa mãn

{[f^{'} (x)]}^{2} = 4 f (x) e^{2 x}

với

\forall x \in R

và

f^{'} (0) = 2

. Khi đó

\int_{0}^{\ln 2} x^{2} f (x) d x

bằng
A.

2 \ln^{2} 2 - \ln 2 + \frac{3}{4} .

B.

2 \ln^{2} 2 - 2 \ln 2 + \frac{1}{4} .

C.

\ln^{2} 2 - 2 \ln 2 + \frac{3}{4} .

D.

2 \ln^{2} 2 - 2 \ln 2 + \frac{3}{4} .

HD: Ta có:

{[f^{'} (x)]}^{2} = 4 f (x) e^{2 x}

, do

f (x)

liên tục, đồng biến trên

R

nên

f^{'} (x) > 0

Mà

e^{2 x} > 0

suy ra

f (x) > 0

, ta có:

f^{'} (x) = 2 \sqrt{f (x)} . e^{x} \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{2 \sqrt{f (x)}} = e^{x}

Lấy nguyên hàm hai vế ta được

\begin{aligned} \int \frac{f^{'} (x) d x}{2 \sqrt{f (x)}} = \int e^{x} d x \Leftrightarrow \int \frac{d [f (x)]}{2 \sqrt{f (x)}} = e^{x} + C \Leftrightarrow \sqrt{f (x)} = e^{x} + C \end{aligned}

\Rightarrow f (x) = {(e^{x} + C)}^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 2 (e^{x} + C) . e^{x}

Thay

x = 0 \Rightarrow f^{'} (0) = 2 (1 + C) .1 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = e^{2 x}

Khi đó

\int_{0}^{\ln 2} x^{2} f (x) d x = \int_{0}^{\ln 2} x^{2} e^{2 x} d x \approx 0, 3246 = \ln^{2} 2 - 2 \ln 2 + \frac{3}{4} .

Đáp án C.

Cho hàm số f(x) liên tục, đồng biến trên...