Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm trên $\mathbb{R}$, $f\left( 2 \right)=16$ và $\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)=4}$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{4}{x{f}'\left( \dfrac{x}{2} \right)}dx$ bằng
A. 144.
B. 12.
C. 56.
D. 112.
A. 144.
B. 12.
C. 56.
D. 112.
Đặt$\left\{ \begin{aligned}
& u=x \\
& dv={f}'\left( \dfrac{x}{2} \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( \dfrac{x}{2} \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\int\limits_{0}^{4}{x{f}'\left( \dfrac{x}{2} \right)dx=\left. xf\left( \dfrac{x}{2} \right) \right|}_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{f\left( \dfrac{x}{2} \right)dx=4.f\left( 2 \right)-{{I}_{1}}.}$
Tính ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{4}{f\left( \dfrac{x}{2} \right)}$. Đặt $t=\dfrac{x}{2}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2}dx$. Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0,x=4\Rightarrow t=2.$
${{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2.4=8$. Vậy $\int\limits_{0}^{4}{x{f}'\left( \dfrac{x}{2} \right)dx}=4.16-8=56.$
& u=x \\
& dv={f}'\left( \dfrac{x}{2} \right)dx \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& du=dx \\
& v=f\left( \dfrac{x}{2} \right) \\
\end{aligned} \right..$
$\int\limits_{0}^{4}{x{f}'\left( \dfrac{x}{2} \right)dx=\left. xf\left( \dfrac{x}{2} \right) \right|}_{0}^{4}-\int\limits_{0}^{4}{f\left( \dfrac{x}{2} \right)dx=4.f\left( 2 \right)-{{I}_{1}}.}$
Tính ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{4}{f\left( \dfrac{x}{2} \right)}$. Đặt $t=\dfrac{x}{2}\Rightarrow dt=\dfrac{1}{2}dx$. Đổi cận: $x=0\Rightarrow t=0,x=4\Rightarrow t=2.$
${{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=2.4=8$. Vậy $\int\limits_{0}^{4}{x{f}'\left( \dfrac{x}{2} \right)dx}=4.16-8=56.$
Đáp án C.