Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục, có đạo hàm tới cấp hai trên $\mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right)=0,f\left( 2 \right)=2,f'\left( 0 \right)=-1$ và $\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)f''\left( x \right)dx}=10$. Giá trị tích phân $I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}$ là:
A. $-2.$
B. 5.
C. 2.
D. $-5.$
A. $-2.$
B. 5.
C. 2.
D. $-5.$
Nhận thấy cần phân tích tích phân $\int\limits_{0}^{2}{\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)f''\left( x \right)dx}=10\ \ \ \left( 1 \right)$
Ta sử dụng phương pháp chia làm hai cột để làm tích phân từng phần cho nhanh.
$\begin{aligned}
& \left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)f'\left( x \right)\left| _{0}^{2} \right.-\left( 2x-3 \right)f\left( x \right)\left| _{0}^{2} \right.+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=10 \\
& \Leftrightarrow -2f'\left( 0 \right)-\left( f\left( 2 \right)-3f\left( 0 \right) \right)+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=10\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=5. \\
\end{aligned}$
Ta sử dụng phương pháp chia làm hai cột để làm tích phân từng phần cho nhanh.
+ | ${{x}^{2}}-3x+2$ | $f''\left( x \right)$ |
– | $2x-3$ | $f'\left( x \right)$ |
+ | 2 | $f\left( x \right)$ |
| 0 | $\int{f\left( x \right)}$ |
$\begin{aligned}
& \left( 1 \right)\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)f'\left( x \right)\left| _{0}^{2} \right.-\left( 2x-3 \right)f\left( x \right)\left| _{0}^{2} \right.+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=10 \\
& \Leftrightarrow -2f'\left( 0 \right)-\left( f\left( 2 \right)-3f\left( 0 \right) \right)+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=10\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}=5. \\
\end{aligned}$
Đáp án B.