Cho hàm số $f\left( x \right)=\left|...

Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{3}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a$ trên $\left[ 0;2 \right]$.
${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x$ ; ${g}'\left( x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right. $; $ g\left( 0 \right)=a $, $ g\left( 1 \right)=a+1 $, $ g\left( 2 \right)=a$.
Suy ra: $a\le g\left( x \right)\le a+1$.
TH1: $0\le a\le 4$ $\Rightarrow a+1\ge a>0$ $\Rightarrow M=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)$ $=a+1$ ; $m=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$ $=a$.
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& 0\le a\le 4 \\
& a+1\le 2a \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow 1\le a\le 4 $. Do đó: có $ 4 $ giá trị của $ a$ thỏa mãn.
TH2: $-4\le a\le -1$ $\Rightarrow a\le a+1\le -1$ $\Rightarrow \left| a+1 \right|\le \left| a \right|$
$\Rightarrow M=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)$ $=\left| a \right|$ $=-a$ ; $m=\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)$ $=\left| a+1 \right|$ $=-a-1$.
Suy ra: $\left\{ \begin{aligned}
& -4\le a\le -1 \\
& -a\le -2a-2 \\
\end{aligned} \right.$$\Rightarrow -4\le a\le -2 $. Do đó: có $ 3 $ giá trị của $ a$ thỏa mãn.
Vậy có tất cả $7$ giá trị thỏa mãn.