Cho hàm số $f\left( x \right)=\left|...

Đặt $g\left( x \right)=-\dfrac{1}{3}{{x}^{3}}+\dfrac{1}{2}\left( 2m+3 \right){{x}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+3m \right)x+\dfrac{2}{3}$, với $m\in \mathbb{R}$.
Ta có $g\left( 1 \right)=-{{m}^{2}}-2m+\dfrac{11}{6}$ ; $g\left( 2 \right)=-2{{m}^{2}}-2m+4$.
Đạo hàm ${g}'\left( x \right)=-{{x}^{2}}+\left( 2m+3 \right)x-\left( {{m}^{2}}+3m \right)$, do đó ${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=m \\
& x=m+3 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên của hàm số $g\left( x \right)$ như sau
Hàm số $f\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|$ nghịch biến trên khoảng $\left( 1;2 \right)$ nếu một trong các trường hợp sau xảy ra
TH1: $\left\{ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& g\left( 2 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& -2{{m}^{2}}-2m+4\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\ge 2 \\
& -2\le m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\in \varnothing $.
TH2: $\left\{ \begin{aligned}
& m\le 1 \\
& m+3\ge 2 \\
& g\left( 2 \right)\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -1\le m\le 1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m\ge 1 \\
& m\le -2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=1$ (nhận).
TH3: $\left\{ \begin{aligned}
& m+3\le 1 \\
& g\left( 2 \right)\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\le -2 \\
& -2\le m\le 1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-2$ (nhận).
Vậy có $2$ giá trị nguyên của tham số $m\in \left[ -20;23 \right]$ thỏa mãn.