Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+a \right|$. Gọi $M,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $\left[ 0;2 \right]$. Có bao nhiêu số nguyên $a$ thuộc đoạn $\left[ -3;3 \right]$ sao cho $M\le 2m$ ?
A. 6.
B. 3.
C. 7.
D. 5.
A. 6.
B. 3.
C. 7.
D. 5.
Xét hàm số $u\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}$ trên $\left[ 0;2 \right]$ :
Ta có ${u}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x;{u}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0,x=1,x=2$
Khi đó $u\left( 0 \right)=u\left( 2 \right)=a;u\left( 1 \right)=a+1$
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$
TH1: Với $a=0$, ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0 \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=1 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$ (không TMĐK)
TH2: Với $a>0$, ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\left| a \right| \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| a+1 \right| \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=\left| a+1 \right| \\
& m=\left| a \right| \\
\end{aligned} \right.$
Mà $M\le 2m\Leftrightarrow \left| a+1 \right|\le 2\left| a \right|\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}\le 4{{a}^{2}}\Leftrightarrow a\ge 1$
Kết hợp $a\in \left[ -3;3 \right]$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow[{}]{{}}a=\left\{ 1;2;3 \right\}$
TH3: Với $a<0$, ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\left| a+1 \right| \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| a \right| \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=\left| a \right| \\
& m=\left| a+1 \right| \\
\end{aligned} \right.$
Mà $M\le 2m\Leftrightarrow \left| a \right|\le 2\left| a+1 \right|\Leftrightarrow {{a}^{2}}\le 4{{\left( a+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow a\le -2$
Kết hợp $a\in \left[ -3;3 \right]$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow[{}]{{}}a=\left\{ -3;-2 \right\}$
Vậy có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn bài toán.
Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$.
Đạo hàm cơ bản ${{\left( {{a}^{n}} \right)}^{\prime }}=n.{{a}^{n-1}}$.
Ta có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại các giá trị thỏa mãn ${y}'=0$ hoặc ${y}'$ không xác định hoặc tại đầu mút. Do đó ta xét các trường hợp tương ứng.
Ta có ${u}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+8x;{u}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=0,x=1,x=2$
Khi đó $u\left( 0 \right)=u\left( 2 \right)=a;u\left( 1 \right)=a+1$
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\left\{ \left| a \right|;\left| a+1 \right| \right\}$
TH1: Với $a=0$, ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0 \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=1 \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=1 \\
& m=0 \\
\end{aligned} \right.$ (không TMĐK)
TH2: Với $a>0$, ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\left| a \right| \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| a+1 \right| \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=\left| a+1 \right| \\
& m=\left| a \right| \\
\end{aligned} \right.$
Mà $M\le 2m\Leftrightarrow \left| a+1 \right|\le 2\left| a \right|\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}\le 4{{a}^{2}}\Leftrightarrow a\ge 1$
Kết hợp $a\in \left[ -3;3 \right]$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow[{}]{{}}a=\left\{ 1;2;3 \right\}$
TH3: Với $a<0$, ta thấy $\left\{ \begin{aligned}
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=\left| a+1 \right| \\
& \underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| a \right| \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& M=\left| a \right| \\
& m=\left| a+1 \right| \\
\end{aligned} \right.$
Mà $M\le 2m\Leftrightarrow \left| a \right|\le 2\left| a+1 \right|\Leftrightarrow {{a}^{2}}\le 4{{\left( a+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow a\le -2$
Kết hợp $a\in \left[ -3;3 \right]$ và $a\in \mathbb{Z}\xrightarrow[{}]{{}}a=\left\{ -3;-2 \right\}$
Vậy có 5 giá trị nguyên của a thỏa mãn bài toán.
Note 28: Phương pháp chung
Bài toán cho hàm số chứa tham số, tìm giá trị của tham số để giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một đoạn thỏa mãn yêu cầu đề bài.Hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$.
Đạo hàm cơ bản ${{\left( {{a}^{n}} \right)}^{\prime }}=n.{{a}^{n-1}}$.
Ta có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt tại các giá trị thỏa mãn ${y}'=0$ hoặc ${y}'$ không xác định hoặc tại đầu mút. Do đó ta xét các trường hợp tương ứng.
Đáp án D.