Cho hàm số $f\left( x \right)=\left|...

Xét hàm số $h\left( x \right)={{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+m\Rightarrow {h}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-10x$.
Khi đó ${h}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0\in \left[ 0;4 \right] \\
& x=1\in \left[ 0;4 \right] \\
& x=\dfrac{-5}{2}\notin \left[ 0;4 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $h\left( 0 \right)=m; h\left( 1 \right)=m-2; h\left( 4 \right)=304+m$ suy ra $\underset{[0;4}{\mathop{\max }} h\left( x \right)=m+304, \underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\min }} h\left( x \right)=m-2$.
+) Khi $m-2\ge -304\Leftrightarrow m\ge 302$ ta có $\underset{\left[ 0;4 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=m+304$ suy ra $m+304=1975\Leftrightarrow m=1671$ (nhận).
+) Khi $m-2<-304\Leftrightarrow m<-302$ ta có $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=\left| m-2 \right|$ suy ra
$\left| m-2 \right|=1975\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m-2=1975 \\
& m-2=-1975 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=1977 \\
& m=-1973 \\
\end{aligned} \right. $ do đó ta nhận $ m=-1973$.
Vậy tổng các giá trị của tham số thực m để $M=\dfrac{71}{2}$ là $1671-1973=-302$.