Cho hàm số $f\left( x \right)=\left|...

The Knowledge · 18/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = | 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m |

. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số

f (x)

trên đoạn

[- 1; 3]

. Giá trị nhỏ nhất của M bằng
A.

\frac{59}{2}

B.

\frac{5}{2}

C. 16
D.

\frac{57}{2}

Đặt

g (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m

.
Có

g^{'} (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x; {g}' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{aligned} x = - 1 \\ x = 0 \\ x = 2 \end{aligned}

.
Ta có:

g (- 1) = m - 5; g (0) = m; g (2) = m - 32; g (3) = m + 27

.
Ta thấy:

m - 32 < m - 5 < m < m + 27, \forall m

.
TH1: Nếu

m - 32 < m + 27 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq - 27

thì

M = | m - 32 |

và

min M = 59

.
TH2:

{\begin{cases} m - 32 < 0 < m + 27 \\ | m - 32 | \leq | m + 27 | \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 27 < m < 32 \\ - m - 27 \leq m - 32 \leq m + 27 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 27 < m < 32 \\ m \geq \frac{5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{5}{2} \leq m < 32

thì

M = | m + 27 |

và

min M = \frac{59}{2}

.
TH3:

{\begin{cases} m - 32 < 0 < m + 27 \\ | m + 27 | \leq | m - 32 | \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 27 < m < 32 \\ m - 32 \leq m + 27 \leq - m + 32 \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} - 27 < m < 32 \\ m \leq \frac{5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow - 27 < m \leq \frac{5}{2}

thì

M = | m - 32 |

và

min M = \frac{59}{2}

.
TH4: Nếu

0 \leq m - 32 < m + 27 \Leftrightarrow m \geq 32

thì

M = | m + 27 |

và

min M = 59

.
Vậy

min M = \frac{59}{2}

khi

m = \frac{5}{2}

.

Đáp án A.