Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{6}}+{{x}^{3}}+m...

Đặt $t={{x}^{3}}$, $f\left( t \right)=\left| {{t}^{2}}+t+m \right|-2t$
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất là 1 khi $f\left( t \right)\ge 1 \forall t\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left| {{t}^{2}}+t+m \right|-2t\ge 1\Leftrightarrow \left| {{t}^{2}}+t+m \right|\ge 2t+1 \forall t\in \mathbb{R}$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{t}^{2}}+t+m\ge 0 \forall t\in \mathbb{R} \\
& {{t}^{2}}+t+m\ge 2t+1 \forall t\in \mathbb{R} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{t}^{2}}+t+m\le 0 \\
& -{{t}^{2}}-t-m\ge 2t+1 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} \left( -{{t}^{2}}-t \right) \\
& m\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} \left( -{{t}^{2}}+t+1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} \left( -{{t}^{2}}+t \right) \\
& m\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} \left( -{{t}^{2}}-3t-1 \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m\ge \dfrac{1}{4} \\
& m\ge \dfrac{5}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& m\le \dfrac{5}{4} \\
& m\le \dfrac{5}{4} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{4}.$
Suy ra: $S=\left\{ \dfrac{5}{4} \right\}.$ Tổng các phần tử của $S$ là $\dfrac{5}{4}$.