Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\left( x-3 \right)}^{2}}{{\left( 2x-7 \right)}^{3}}{{\left( 3x-10 \right)}^{2023}}{{\left( x-4 \right)}^{2024}}$. Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right| \right)$ có số điểm cực tiểu nhiều nhất là $S=\left( a;b \right)\backslash \left\{ c \right\}$. Giá trị của biểu thức $T={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}+abc$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 1;100 \right)$
B. $\left( 115;130 \right)$.
C. $\left( 100;115 \right)$.
D. $\left( 130;2023 \right)$.
A. $\left( 1;100 \right)$
B. $\left( 115;130 \right)$.
C. $\left( 100;115 \right)$.
D. $\left( 130;2023 \right)$.
Trường hợp 1: $f\left( x \right)=0$ thì ta thu được các nghiệm bội lẻ lần lượt là $x=\dfrac{7}{2};x=\dfrac{10}{3}$ (1)
Trường hợp 2: $f\left( x \right)\ne 0$, thực hiện biến đổi $\left\{ \begin{aligned}
& \ln f\left( x \right)=2\ln \left| x-3 \right|+3\ln \left| 2x-7 \right|+2023\ln \left| 3x-10 \right|+2024\ln \left| x-4 \right| \\
& x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3;\dfrac{10}{3};\dfrac{7}{2};4 \right\} \\
\end{aligned} \right.$
Đạo hàm hai vế ta có: $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=f\left( x \right)\left( \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4} \right)$
Giải ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)\left( \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{0}^{{}}}^{{}}\left( L \right) \\
& \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4}={{0}^{{}}}^{{}}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $u\left( x \right)=\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4}$ có ${u}'\left( x \right)=-\dfrac{2}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\dfrac{12}{{{\left( 2x-7 \right)}^{2}}}-\dfrac{3.6069}{{{\left( 3x-10 \right)}^{2}}}-\dfrac{2024}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}<0$
Suy ra $u\left( x \right)$ luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Với $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=0$, khi đó ta có bảng biến thiên sau:
Khi đó (2) có các nghiệm là: $x=a\in \left( 3;\dfrac{10}{3} \right);x=b\in \left( \dfrac{10}{3};\dfrac{7}{2} \right);x=c\in \left( \dfrac{7}{2};4 \right)$ (3).
Từ (1) và (3), ta suy ra $f\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị lần lượt là $a,\dfrac{7}{2},b,\dfrac{10}{3},c$ (với $3<a<\dfrac{7}{2}<b<\dfrac{10}{3}<c<4$ ).
Tiếp đến ta xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right| \right)$ có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{\left( -4{{x}^{3}}+16x+m \right)\left( -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right){f}'\left( \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right| \right)}{\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4{{x}^{3}}+16x+m={{0}^{{}}}^{{}}\left( 4 \right) \\
& -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx={{0}^{{}}}^{{}}\left( 5 \right) \\
& {f}'\left( \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right| \right)={{0}^{{}}}^{{}}\left( 6 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $h\left( x \right)$ có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.
Khi đó (4) tương đương với: $m=4{{x}^{3}}-16x=q\left( x \right)\to m\in \left( q\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right);q\left( \dfrac{92}{\sqrt{3}} \right) \right)\Rightarrow m\in \left( \dfrac{-64}{3\sqrt{3}};\dfrac{64}{3\sqrt{3}} \right)$ (7).
Giải (5), khi đó phương trình tương đương với: $\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& -{{x}^{3}}+8x+m={{0}^{{}}}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)\Leftrightarrow m={{x}^{3}}-8x=r\left( x \right)\to m\in \left( r\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right);r\left( \dfrac{-2\sqrt{6}}{3} \right) \right)\Rightarrow m\in \left( -\dfrac{32\sqrt{6}}{9};\dfrac{32\sqrt{6}}{9} \right)$ (8)
Từ (7) và (8) ta suy ra $m\in \left( -\dfrac{32\sqrt{6}}{9};\dfrac{32\sqrt{6}}{9} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$. (9)
Giải (6), khi đó phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=\dfrac{7}{2};\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=\dfrac{10}{3} \\
& \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=a;\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=b;\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=c \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{7}{2x};-{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{10}{3x} \\
& -{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{a}{x};-{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{b}{x};-{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{c}{x} \\
\end{aligned} \right.$.
Giả sử ta có hàm số $p\left( x \right)=-{{x}^{3}}+8x+m$ ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số $p\left( x \right)$ phải luôn cắt các đường cong $-\dfrac{7}{2x};-\dfrac{10}{3x};-\dfrac{a}{x};-\dfrac{b}{x};-\dfrac{c}{x}$ tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.
Do $c\approx 3.6667$ (sai số rất nhỏ) nên ta xem như $c=\dfrac{7}{2}=3.5$, gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa $p\left( x \right)$ và $y=\dfrac{7}{2x}$, khi đó ${{x}_{0}}$ là nghiệm của hệ:$\left\{ \begin{aligned}
& -{{x}_{0}}^{3}+8{{x}_{0}}+m=\dfrac{7}{2{{x}_{0}}} \\
& -3{{x}_{0}}^{2}+8=-\dfrac{7}{2{{x}_{0}}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}_{0}}^{3}+8x+m=\dfrac{7}{2{{x}_{0}}} \\
& 6{{x}_{0}}^{4}-16{{x}_{0}}^{2}-7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}_{0}}^{3}+8{{x}_{0}}+m=\dfrac{7}{2{{x}_{0}}} \\
& {{x}_{0}}=\pm 1,75 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $-{{\left( \pm 1,75 \right)}^{3}}+8\left( \pm 1,75 \right)+m=\dfrac{7}{2\left( \pm 1,75 \right)}\Leftrightarrow m=\pm 6.64$. Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có $m\in \left( -6.64;6.64 \right)$ (10).
Từ (9) và (10) ta suy ra $m\in \left( -6.64;6.64 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$. Vậy $T={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}=3{{\left( 6.64 \right)}^{2}}\in \left( 115;150 \right)$.
Trường hợp 2: $f\left( x \right)\ne 0$, thực hiện biến đổi $\left\{ \begin{aligned}
& \ln f\left( x \right)=2\ln \left| x-3 \right|+3\ln \left| 2x-7 \right|+2023\ln \left| 3x-10 \right|+2024\ln \left| x-4 \right| \\
& x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3;\dfrac{10}{3};\dfrac{7}{2};4 \right\} \\
\end{aligned} \right.$
Đạo hàm hai vế ta có: $\dfrac{{f}'\left( x \right)}{f\left( x \right)}=\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4}\Rightarrow {f}'\left( x \right)=f\left( x \right)\left( \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4} \right)$
Giải ${f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( x \right)\left( \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& f\left( x \right)={{0}^{{}}}^{{}}\left( L \right) \\
& \dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4}={{0}^{{}}}^{{}}\left( 2 \right) \\
\end{aligned} \right.$
Xét hàm số $u\left( x \right)=\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{6}{2x-7}+\dfrac{6069}{3x-10}+\dfrac{2024}{x-4}$ có ${u}'\left( x \right)=-\dfrac{2}{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}-\dfrac{12}{{{\left( 2x-7 \right)}^{2}}}-\dfrac{3.6069}{{{\left( 3x-10 \right)}^{2}}}-\dfrac{2024}{{{\left( x-4 \right)}^{2}}}<0$
Suy ra $u\left( x \right)$ luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Với $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=0$, khi đó ta có bảng biến thiên sau:
Từ (1) và (3), ta suy ra $f\left( x \right)$ có 5 điểm cực trị lần lượt là $a,\dfrac{7}{2},b,\dfrac{10}{3},c$ (với $3<a<\dfrac{7}{2}<b<\dfrac{10}{3}<c<4$ ).
Tiếp đến ta xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right| \right)$ có ${h}'\left( x \right)=\dfrac{\left( -4{{x}^{3}}+16x+m \right)\left( -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right){f}'\left( \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right| \right)}{\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -4{{x}^{3}}+16x+m={{0}^{{}}}^{{}}\left( 4 \right) \\
& -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx={{0}^{{}}}^{{}}\left( 5 \right) \\
& {f}'\left( \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right| \right)={{0}^{{}}}^{{}}\left( 6 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Để hàm số $h\left( x \right)$ có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.
Khi đó (4) tương đương với: $m=4{{x}^{3}}-16x=q\left( x \right)\to m\in \left( q\left( \dfrac{2}{\sqrt{3}} \right);q\left( \dfrac{92}{\sqrt{3}} \right) \right)\Rightarrow m\in \left( \dfrac{-64}{3\sqrt{3}};\dfrac{64}{3\sqrt{3}} \right)$ (7).
Giải (5), khi đó phương trình tương đương với: $\left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& -{{x}^{3}}+8x+m={{0}^{{}}}\left( * \right) \\
\end{aligned} \right.\left( * \right)\Leftrightarrow m={{x}^{3}}-8x=r\left( x \right)\to m\in \left( r\left( \dfrac{2\sqrt{6}}{3} \right);r\left( \dfrac{-2\sqrt{6}}{3} \right) \right)\Rightarrow m\in \left( -\dfrac{32\sqrt{6}}{9};\dfrac{32\sqrt{6}}{9} \right)$ (8)
Từ (7) và (8) ta suy ra $m\in \left( -\dfrac{32\sqrt{6}}{9};\dfrac{32\sqrt{6}}{9} \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$. (9)
Giải (6), khi đó phương trình tương đương với: $\left\{ \begin{aligned}
& \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=\dfrac{7}{2};\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=\dfrac{10}{3} \\
& \left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=a;\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=b;\left| -{{x}^{4}}+8{{x}^{2}}+mx \right|=c \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{7}{2x};-{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{10}{3x} \\
& -{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{a}{x};-{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{b}{x};-{{x}^{3}}+8x+m=\pm \dfrac{c}{x} \\
\end{aligned} \right.$.
Giả sử ta có hàm số $p\left( x \right)=-{{x}^{3}}+8x+m$ ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số $p\left( x \right)$ phải luôn cắt các đường cong $-\dfrac{7}{2x};-\dfrac{10}{3x};-\dfrac{a}{x};-\dfrac{b}{x};-\dfrac{c}{x}$ tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.
Do $c\approx 3.6667$ (sai số rất nhỏ) nên ta xem như $c=\dfrac{7}{2}=3.5$, gọi ${{x}_{0}}$ là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa $p\left( x \right)$ và $y=\dfrac{7}{2x}$, khi đó ${{x}_{0}}$ là nghiệm của hệ:$\left\{ \begin{aligned}
& -{{x}_{0}}^{3}+8{{x}_{0}}+m=\dfrac{7}{2{{x}_{0}}} \\
& -3{{x}_{0}}^{2}+8=-\dfrac{7}{2{{x}_{0}}^{2}} \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}_{0}}^{3}+8x+m=\dfrac{7}{2{{x}_{0}}} \\
& 6{{x}_{0}}^{4}-16{{x}_{0}}^{2}-7=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -{{x}_{0}}^{3}+8{{x}_{0}}+m=\dfrac{7}{2{{x}_{0}}} \\
& {{x}_{0}}=\pm 1,75 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra: $-{{\left( \pm 1,75 \right)}^{3}}+8\left( \pm 1,75 \right)+m=\dfrac{7}{2\left( \pm 1,75 \right)}\Leftrightarrow m=\pm 6.64$. Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có $m\in \left( -6.64;6.64 \right)$ (10).
Từ (9) và (10) ta suy ra $m\in \left( -6.64;6.64 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$. Vậy $T={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}=3{{\left( 6.64 \right)}^{2}}\in \left( 115;150 \right)$.
Đáp án B.