Cho hàm số $f\left( x \right)={{\left( x-3 \right)}^{2}}{{\left(...

Trường hợp 1: thì ta thu được các nghiệm bội lẻ lần lượt là (1)
Trường hợp 2: , thực hiện biến đổi
Đạo hàm hai vế ta có:
Giải
Xét hàm số có
Suy ra luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. Với , khi đó ta có bảng biến thiên sau:
Khi đó (2) có các nghiệm là: (3).
Từ (1) và (3), ta suy ra có 5 điểm cực trị lần lượt là (với ).
Tiếp đến ta xét hàm số có .
Để hàm số có nhiều cực tiểu nhất thì (4), (5), (6) phải có nhiều nghiệm bội lẻ nhất.
Khi đó (4) tương đương với: (7).
Giải (5), khi đó phương trình tương đương với: (8)
Từ (7) và (8) ta suy ra . (9)
Giải (6), khi đó phương trình tương đương với: .
.
Giả sử ta có hàm số ta suy ra để thỏa mãn đề bài thì hàm số phải luôn cắt các đường cong tại 2 điểm phân biệt tại mỗi đường.
Do (sai số rất nhỏ) nên ta xem như , gọi là hoành độ của điểm tiếp xúc giữa và , khi đó là nghiệm của hệ:
Suy ra: . Như vậy để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì ta cần có (10).
Từ (9) và (10) ta suy ra . Vậy .