Google
Câu hỏi: Cho hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ với $m\in \left[ -5;7 \right]$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của mđể hàm số có đúng ba điểm cực trị?
A. 8
B. 13
C. 10
D. 12
A. 8
B. 13
C. 10
D. 12
Phương pháp:
- Biến đổi $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}^{2}}}.~$
- Tính đạo hàm, tìm điều kiện để phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}~$
Ta có: $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)}{2\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}^{2}}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{3x\left( x-2 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|}$
Để hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ có 3 điểm cực trị thì phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ hoặc có 1 nghiệm khác 0; 2, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0 hoặc 2, hoặc có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm bằng 0 hoặc 2.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\Leftrightarrow m={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=f\left( x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ có $f'(x)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy:
TH1: Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có 1 nghiệm khác $0;2\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right.~$
TH2: Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0 hoặc $2\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.$
TH3: Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm bằng 0 hoặc $2\Rightarrow m\in \phi $
Suy ra$\left[ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right. $, kết hợp điều kiện $ \Rightarrow m\in \left[ -5;-4 \right]\cup \left[ 0;7 \right].~$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -5;-~4;0;1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Vậy có 10 giá trị của mthỏa mãn.
- Biến đổi $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}^{2}}}.~$
- Tính đạo hàm, tìm điều kiện để phương trình $f'\left( x \right)=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Cách giải:
TXĐ: $D=\mathbb{R}~$
Ta có: $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|=\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}^{2}}}$
$\Rightarrow f'\left( x \right)=\dfrac{2\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)}{2\sqrt{{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}^{2}}}}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)\left( 3{{x}^{2}}-6x \right)}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|}$
$f'\left( x \right)=\dfrac{3x\left( x-2 \right)\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)}{\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|}$
Để hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right|$ có 3 điểm cực trị thì phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ hoặc có 1 nghiệm khác 0; 2, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0 hoặc 2, hoặc có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm bằng 0 hoặc 2.
${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0\Leftrightarrow m={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=f\left( x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}$ có $f'(x)=3{{x}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
x=0 \\
x=2 \\
\end{matrix} \right.$
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy:
TH1: Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có 1 nghiệm khác $0;2\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>0 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right.~$
TH2: Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0 hoặc $2\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=0 \\
& m=-4 \\
\end{aligned} \right.$
TH3: Phương trình ${{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-m=0$ có có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm bằng 0 hoặc $2\Rightarrow m\in \phi $
Suy ra$\left[ \begin{aligned}
& m\ge 0 \\
& m\le -4 \\
\end{aligned} \right. $, kết hợp điều kiện $ \Rightarrow m\in \left[ -5;-4 \right]\cup \left[ 0;7 \right].~$
Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -5;-~4;0;1;2;3;4;5;6;7 \right\}$.
Vậy có 10 giá trị của mthỏa mãn.
Đáp án C.