Cho hàm số $f\left( x \right)=\left( x+2a \right)\left( x+2b-a...

The Professor · 14/12/21

Câu hỏi: Cho hàm số

f (x) = (x + 2 a) (x + 2 b - a) (a x + 1)

. Có bao nhiêu cặp số thực

(a; b)

để hàm số đồng biến trên

R

.
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.

Ta có:

f^{'} (x) = 3 a x^{2} (2 a^{2} + 4 a b + 2) x - 2 a^{3} + 4 a^{2} b + a + 2 b

.
Theo bài ra ta có:

f^{'} (x) \geq 0

,

\forall x \in R

.

\Leftrightarrow [\begin{aligned} {\begin{aligned} a = 0 \\ 2 x + 2 b \geq 0, x \in R \end{aligned} k h ô n g t h ỏ a m ã n \\ {\begin{aligned} a > 0 \\ Δ^{'} \leq 0 \end{aligned} \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a > 0 \\ {(a^{2} + 2 a b + 1)}^{2} - 3 a (- 2 a^{3} + 4 a^{2} b + a + 2 b) \leq 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a > 0 \\ 7 a^{4} - 8 a^{3} b + 4 a^{2} b^{2} - a^{2} - 2 a b + 1 \leq 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a > 0 \\ {(2 a b - \frac{4 a^{2} + 1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} {(2 a^{2} - 1)}^{2} \leq 0 \end{aligned}

\Leftrightarrow {\begin{aligned} a > 0 \\ 2 a b - \frac{4 a^{2} + 1}{2} = 0 \\ 2 a^{2} - 1 = 0 \end{aligned} \Leftrightarrow {\begin{aligned} a = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ b = \frac{3 \sqrt{2}}{4} \end{aligned}

Nhận xét: Hàm số

f (x) = k (x + a) (x + b) (x + c)

đồng biến trên

R

khi

{\begin{aligned} k > 0 \\ a = b = c \end{aligned}

; nghịch biến trên

R

khi

{\begin{aligned} k < 0 \\ a = b = c \end{aligned}

Đáp án B.